希波战争使爱奥尼亚的希腊殖民城邦相继陷落。爱奥尼亚的文化精英们大都逃到了雅典。这股东学西渐的潮流不久就导致了雅典文化的黄金时代。希波战争的胜利加强了雅典在希腊世界的地位，政治上的优势带来了经济上的繁荣，经济上的繁荣促进了文化的发展。这一时期，雅典的民主体制获得了空前的发展机会。人们热衷于谈论政治，谈论法律和规则。辩论术盛行，辩论术士也颇受青睐。在这种特殊的条件下，雅典出现了智者学派（Sophist，中文也译作“巧辩学派”或“诡辩学派”）。这是一群靠卖弄口舌谋生的人。他们有的教富家子弟辩论，有的直接在法庭上帮人辩护打官司，很像我们今天的律师。在一般哲学史中，智者被认为是希腊哲学史上由自然哲学向人文哲学转变的一个转折点。从他们开始，希腊哲学家关注的主要问题由自然转向人。智者普罗泰哥拉的名言“人是万物的尺度，是存在的事物存在的尺度，也是不存在的事物不存在的尺度”，表明智者对人的问题的关心已胜过自然问题。不过，这只是问题的一个方面。要知道，对希腊人而言，自然与人的对立并不像近代世界那样严重。这里我们要特别提到，关注人的问题的智者，同样在希腊数学史上占据一席之地。
智者在巧妙、娴熟地运用概念的过程中，促进了逻辑思维的发展。他们之中有许多是著名的几何学家，希腊数学三大难题就是他们提出来的。这三大难题是：
（1）化圆为方，或说，求圆面积。
（2）2倍立方，或说，求一立方体之边，使其体积等于已知边长的立方体的2倍。
（3）三等分任意角。
这三个题目看起来并不困难，为什么会成为希腊数学三大难题呢？实际上，所谓的难题是相对于一定条件来说的，离开条件限制难题就不一定成为难题。对这三个问题，希腊数学家要求只运用直尺和圆规两个工具来解决，这正是难点之所在。
试看第二个难题2倍立方。这个问题可以等价为用尺规做出长度来，可是，从那时以来的2000多年，几何学家都没能做出来。笛卡尔最早指出这是一个不可能做出的题目。法国数学家范齐尔于1837年严格证明了用尺规不能做出来。但如能运用别的几何工具，或运用别的数学方法，解决这个问题是不难的。
三等分任意角，难在任意，并非不能用尺规三等分所有的角。比如90°角，就完全可以用尺规三等分。但可以证明存在无限多个不能用尺规三等分的角。当然，抛开尺规的限制，用几何方法三等分任意角是不难的。
化圆为方，实际上是要做出，可是不是任何整系数代数方程的根，因而不可能用尺规做出。这个严格的证明是1882年由德国数学家林德曼做出的。
据说，阿那克萨哥拉最先试图解这三个难题。他晚年在牢房里（上文提到，阿那克萨哥拉被雅典人视为异端，投入监狱）还在研究化圆为方的问题。解这些问题最有名的是智者希匹阿斯（生于公元前460年），他设计了割圆曲线来完成三等分角的工作，但这种曲线并不能用尺规做出，所以不能真正解决问题。
为什么希腊数学家那么严格限制尺规做图呢？一般解释是，希腊人要求逻辑简单明了。直线和圆周是最基本的几何图形，把所有的几何图形化成这两种基本几何图形的组合，是希腊几何学家的理想。实际情况是，在智者提出这三大难题时，对尺规做图的要求并不太严格，只是因为智者好出怪题，才定下这么一个要求。后来这个要求之所以逐步成了希腊数学家自觉遵守的规则，可能与柏拉图的哲学有关系。柏拉图把几何图形理想化，反对用更多的机械工具来从事几何研究。受他的影响，希腊几何学家也尽量少用机械工具，但直线和圆周是最基本的几何构图，故限于直尺和圆规。
对做图的重视是希腊几何学的一大特色。一个图形必须构造出来，否则就不能成为几何研究的对象。有一个关于苏格拉底与几何学家的故事，可以对这一点提供佐证。苏格拉底是柏拉图的老师，本人终生待在雅典。他没有留下著述，但他的活动和学说都由他的学生柏拉图记了下来。他奔走于雅典的大街小巷，逢人便谈，对那些自命不凡者予以巧妙的讽刺和挖苦。他最富传奇色彩的两套对话方法是“助产术”和“苏格拉底讽刺”。所谓“助产术”，是对待好学的年轻人的方法。苏格拉底从具体事例出发，逐步引导对方弄懂本来不知道的一般概念。据说苏格拉底的母亲是一个助产婆，这启发他发明了这套谈论方法。所谓“苏格拉底讽刺”，是对待自觉有知而实则无知者的方法。苏格拉底佯装自己无知，从对方已经认定的概念出发，沿着对方的思路提出一系列问题，结果使对方陷于自相矛盾的境地。苏格拉底对这些方法的运用，在柏拉图写的对话中得到了生动的反映。
有一天苏格拉底与一位几何学家谈论“全体大于部分”这个几何学公理。他设计了这样一个题目，使几何学家大吃一惊：先画一个正方形ABCD，然后在外侧引一条与AB等长并与之成锐角的线段AE。连CE并做CB、CE的中垂线，两条中垂线交于O点。连OA、OE、OB、OC、OD，不难得知OD=OA，OC=OE，CD=AE，因此△OCD=△OEA。由此可以得出∠ODC=∠OAE，∠ODC-∠ODA=∠OAE-∠OAD。由于∠ODA=∠OAD，故而有∠ADC=∠DAE，也就是∠DAB=∠DAE。证明到了这一步，几何学家也不知如何是好，竟不得不承认有的时候全体并不是大于部分而是等于部分。他说：“啊，苏格拉底，看来数学上的真理也常常并不是那么一回事，有时竟是虚构的，这一点已经被你证明了！”
苏格拉底当然没有证明部分等于全体，在这里他不过是同几何学家开了一个玩笑。读者可以自己思考一下，苏格拉底证明的问题出在哪里？
