继毕达哥拉斯学派之后，公元前5世纪左右，在南意大利的爱利亚出现了一个新的哲学流派，史称爱利亚学派。他们的领袖是巴门尼德，重要的成员包括芝诺。这派哲学主张存在是“一”，而“杂多”的现象界是不真实的。他们主张世界本质上是静止的，运动只是假象。他们在科学史上本没有特别重要的位置，但是，由于芝诺提出过两组著名的关于运动是假象的论证，因而为科学史家所重视。这个论证虽说看起来很荒谬，但由于它触及科学概念中一些根本性问题，令数学家们为此苦恼了几千年。
芝诺关于运动的悖论一共有四个。第一个悖论叫作“二分法”。芝诺说，任何一个物体要想由A点运行到B点，必须首先到达AB的中点C，而要想到达C点，又必须首先到达AC的中点D，要想到达D点，则必须到达AD的中点，等等。这个二分过程可以无限地进行下去，这样，该物体就不可能离开A点运动哪怕一丁点。这个过程可以表示如下：
“二分法”还有一种说法：任何物体要想由A点运行到B点必先到达中点C，到了C点之后，又必须到达CB的中点D，到了D之后，又必须到达DB的中点，这样的中点有无限多个，所以，该物体无论如何到不了终点B。
第二个悖论叫作“阿喀琉斯”（又译阿基里斯）。阿喀琉斯是希腊传说中的善跑者，是特洛伊战争中的英雄。芝诺现在论证他追不上乌龟。阿喀琉斯若想追上乌龟，首先必须到达乌龟开始跑的位置，因为乌龟起跑时在阿喀琉斯的前面，有一定的距离。这个要求是合理的，但当快腿阿喀琉斯到达乌龟开始跑的位置时，乌龟已经跑到前面去了。要知道，乌龟虽然跑得慢，但它毕竟在跑。好了，等阿喀琉斯到达乌龟起跑的位置时，他若想追上乌龟又面临同样的问题：他必须先跑到乌龟此刻的位置才能追上乌龟，但等他跑到了，完全同样的问题又摆在他面前。这样的问题可以无限地出现。虽然阿喀琉斯跑得快，他也只能一步一步逼近乌龟，却永远追不上它。乌龟总是在他前头，在他与乌龟之间总有一段距离需要跑，虽然这个距离越来越短，可“总有”。
第三个悖论叫作“飞矢不动”。芝诺说，任何一个东西老待在一个地方那不叫运动，可是飞动着的箭在任何一个时刻不都是待在一个地方吗？既然飞矢在任何一个时刻都待在一个地方，那我们就可以说飞矢不动，因为运动是地方的变动，而在任何一个时刻飞矢的位置并不发生变化，所以任一时刻的飞矢是不动的。既然任一时刻的飞矢不动，那飞矢当然就是不动的。
第四个悖论叫作“运动场”，说的是运动场上三列物体的相对运动所造成的谬误。假设有A、B、C三列物体按如下方式排列：
又假定每一时间单元B和C相对于A运动一个空间单元，但方向相反。于是，在一个时间单元之后三列物体排列如下：
两个时间单元之后排列如下：
问题出现在，经过一个时间单元后，B与C相互之间有了两个空间单元的移动，经过两个时间单元后，B与C有了四个空间单元的移动。若想B与C只有一个空间单元的移动，那么对应的是半个时间单元，B相对于A移动一个空间单元需要一个时间单元，而相对于C移动一个空间单元却需要半个时间单元，这表明一个时间单元等于半个时间单元。
芝诺的这四个悖论可分为两组。头两个是第一组，假定时间空间是连续的，后两个是第二组，假定时间空间是间断的。每组的第一个悖论表明孤立物体的运动是不可能的，第二个表明两个物体的相对运动是不可能的。芝诺意在表明，无论时空是连续的还是间断的，运动都不可能，都会出现荒谬的事情。
芝诺悖论的特点是道理简单，叙述不复杂，任何人一听就明白，但其结论鲜明，出人意料。人们免不了会觉得这肯定是诡辩，一定可以找出其毛病所在。从亚里士多德开始，大多数哲学家都力图指出芝诺的论证是错误的。可令人奇怪的是，这个问题至今也未能彻底解决，许多前人指出的错误，后人发现其实并不是错误。
举四个悖论中最为有趣的“阿喀琉斯”为例。小学生都懂得如何计算阿喀琉斯追上乌龟应花的时间。设他的速度是v1，它的速度是v2，他们的初始距离是d，那么追上乌龟的时间是d/（v1-v2）。既然能算出需要多长时间才能追上，我们还有什么理由说他永远追不上它呢？芝诺如果听了这样的话，一定会笑着说：“我当然知道阿喀琉斯能够追上乌龟，可是问题在于这不合道理。从道理上讲是永远追不上的。你们若想说服我，就必须把道理说出来，光举日常生活中的例子，那是没有用的。”事实上，小学生之所以能算出阿喀琉斯追上乌龟的时间，是因为他们用了一个公式，而这个公式是解如下方程得出的：
d+v2T=v1T
列出这个方程是很容易的，但有一个假定，那就是假定阿喀琉斯最终追上了乌龟，而且设追上的时间是T。这也就是说，虽然我们求出了追上乌龟的时间，但那是我们先假定能追上才得出的。并不能因为我们求出了时间，就“证明”了能追上。
现代数学运用极限理论和微积分可以得出相同的结果。我们现在把阿喀琉斯要跑的距离全部列出来：第一步，到达乌龟的起点，要跑初始距离d，要花时间，这段时间内，乌龟又向前跑了一段距离；于是，第二步，再跑，跑这段距离要花时间，这段时间内，乌龟又向前跑了一段距离……如此算下来，可以列出一个总距离的数列：
这个数列有无穷多项，但其总和并不是一个无限大的数目，而是一个有限数，用它除以v1，就与我们刚才运用简单公式算出的时间一样了。
这是不是就可以说明，芝诺只是把项的无穷多与总和的无穷大混为一谈，才造成阿喀琉斯追不上乌龟的荒谬结论呢？还不能这样说。对芝诺来说，即使总和并非无穷大，无穷多个步骤也是难以完成的。毫无疑问，阿喀琉斯越来越接近乌龟，距离越来越小，可是面对这无限多个步骤，尽管越来越容易完成，阿喀琉斯这个有限的人物，怎么可能完成？
芝诺悖论涉及对时间、空间、无限、运动的看法，它至今还在困扰着哲学家和数学家，这个难题对数学的发展有着重要的积极意义。
