原子由原子核及围绕在周围的电子组成。正如我们前面讨论过的，原子核由质子和中子构成。最简单的原子是氢原子，它的原子核就是一个质子，而且就只有一个电子围着它运转。一个原子的尺寸是大约10-10 米，也称为一个“埃”（一埃是10-10 米，意味着它是一米的1/1010 ，或一百亿分之一。）而原子核的尺寸又要再小10万倍。我们说一个原子大约是一个埃，这意味着电子离原子核很远。电子位置的不确定度Δ×是大约一埃，因为我们无法预知这一时刻或下一时刻电子将会出现在原子核的哪一边。根据不确定原理，电子动量将会有一个不确定度Δp，并且满足Δp×Δ×≥h/4π。动量的不确定度来自氢原子中电子的运动——平均而言电子在氢原子内的速度会达到光速的百分之一，——但它的方向是不确定的。电子动量的不确定度大概就是动量本身，因为动量的不确定性源自电子运动方向的不确定性。总的图景是这样的，电子由于原子核对它的引力而不得不被束缚在原子的陷阱里运动，但量子力学又不允许电子停在阱里。相反，它不得不永远运动下去，按量子力学的数学所描述的，正是这种永不停歇的运动给出了原子自身的尺寸。如果电子可以停下来的话，它将停在原子核上，因为电子是被原子核吸引的。物质世界将不复存在，因为电子都坍缩到原子核上去了，这是多么不幸啊！所以，原子内的电子能做量子运动真是个福音。
尽管氢原子中的电子具有不确定的位置和不确定的动量，但它具有确定的能量。实际上，它可以有几个可能的能量。物理学家用电子能量的“量子化”来说这个事情。这意味着电子必须在几种可能性之间作出抉择。为了理解这一奇怪的事情，让我们回到日常生活中的动能这个例子。我们已经学习过换算公式，
让我们把这个公式应用于一辆小汽车。只要不断给油，我们就能让车跑得足够快，想跑多快就跑多快。但假如汽车的能量是量子化的，我们就不能这样了。比如，你可以跑到10英里每小时的速度，或15，或25，但你不能跑11或12或12.5英里每小时。
氢原子中电子的量子化能级将我带回音乐类比。我已经介绍过一个这样的类比了：《幻想即兴曲》中的交叉节奏。一个均匀的节奏本身就是频率。氢原子中每一个量子化的能级都与一个不同的频率对应。电子可以从这些能级中选择一个。如果它选了，就好比我们有了一个单独的均匀节奏，比如节拍器。但一个电子也可以选择部分在一个能级，而部分在另一个能级。这就叫迭加。《幻想即兴曲》就是对两个节奏的“迭加”，一个由右手带来而另一个则由左手带来。
现在，我已经向你介绍了原子中电子所具有的量子力学意义下的不确定的位置和动量，但量子化的能量还没有解释。位置和动量都不确定但能量却是确定的，这是不是很奇怪呢？为了理解这个事情，我们先讨论另一个音乐类比。考虑钢琴的琴弦。当我们敲下去的时候，琴弦振动，以确定的频率，或音高。比如，钢琴中央C上面的A会以440次/s的方式振动。物理学家通常会用赫兹（Hz）来表示频率，1赫兹表示每秒重复或振动一次。所以钢琴中央C上面的A的频率是440 Hz。这可比《幻想即兴曲》快多了，如果我们记得的话，右手每秒也就弹出12个音符：讲频率的话就是12 Hz。但这还是比氢原子的频率要慢得多。实际上，弦的运动要比单独的振动复杂得多。对振动的弦而言，存在着更高频率的泛音。正是泛音决定了一架钢琴的音色。
这看起来可能和氢原子中电子的量子力学运动有点距离。但实际上两者紧密相关。氢原子电子的最低能量就仿佛是钢琴琴弦的基频：对中央C上面的A而言就是440 Hz。简单来说，电子在最低能级上的频率大约是3×1015 Hz。而电子可能的其他能量的取值就相当于是钢琴琴弦的泛音。
钢琴琴弦上的波动和氢原子中电子的量子力学运动都是驻波的例子。驻波的意思就是振动不会跑掉。钢琴琴弦在两端是被定死的，所以它的振动就被琴弦的长度限制了。氢原子中电子的量子力学运动被限制在一个小得多的空间内，仅比1埃大点。量子力学数学形式背后的主要想法就是把电子的运动看成是波。当波具有确定的频率，好比钢琴琴弦的基频，电子就具有确定的能量。但电子的位置从来就不是一个确定的数，因为波把它描述为同时在原子的每一个地方，就像钢琴琴弦的振动同时存在于整个琴弦上一样。我们只能说电子基本上就在原子核附近的1埃以内。
在知道了电子是由波来描述后，你可能会问：波的介质是什么？这是个困难的问题。一个回答是这无所谓。另一个回答是这里存在着穿越整个时空的“电子场”，而电子就是场的激发。电子场就像是钢琴的琴弦，而电子就是存在于钢琴琴弦上的振动。
图2.1 左图：氢原子的经典图像，一个电子围绕着一个质子运转。右图：用驻波表示的量子图景。电子没有确定的轨道，电子的运动用一个驻波表示。这里电子没有确定的位置，但它有一个确定的能量。
波并不总被一个狭小的，如原子大小的空间限制。比如，海浪可以在海上传播很多英里才打在沙滩上，破碎。量子力学中也有行波的例子：比如光子。但在研究光子前，我们先来介绍一个技术细节，这个细节和后面章节中我们要讨论的一些问题有关。我用频率来表示氢原子中的电子，当然这是一种过度简化。为了解释我是如何过度简化的，我要再介绍一个公式：E=hν。这里E是能量，ν是频率，h就是因不确定原理而引入的普朗克常数。E=hν是个了不起的公式，因为它告诉我们频率真正的含义：频率就是能量，只是带着新的伪装。但这里存在着麻烦：因为有多种不同的能量。电子有静能量。它还有动能。而且它还有束缚能，数值上它等于把电子从质子的束缚中解放出来所需施加的能量。公式E=hν到底是对哪个能量而言的呢？当我对氢原子使用数值3×1015 次振荡每秒 的时候，我使用的是动能加上束缚能，这时静能量是排除在外的。但这是任意的。如果我喜欢，我也可以把静能量加上。这意味着在量子力学中频率是不明确的，真令人沮丧。
下面我们来介绍这个困难是如何被克服的。电子从一个能级跃迁到另一个能级时发生了什么呢？当电子向低能量跃迁时，多余的能量将以光子的形式释放出来。光子的能量是电子跃迁前和跃迁后能量的差值。现在是否把静能量包括在内就无所谓了，因为我们现在只关心跃迁前和跃迁后电子能量的差值。对公式E=hν的正确使用是把E看作是光子的能量。那么ν就是光子的频率，只能取确定的数值，没有丝毫含混。现在还剩下一件事需要解释：光子频率的精确含义是什么？这将是接下来我需要解释的。
