乔恩·克莱因伯格（Jon Kleinberg）：康奈尔大学计算机科学系教授，合著有《网络、群体与市场》（Networks, Crowds, and Markets）。
数学中的某些事实，让人们觉得它内部蕴含着一种被抑制的力量，一开始，会觉得它们温良和顺，但一旦发挥作用，它们会让人眼花缭乱。其中最引人瞩目的例子就是鸽巢原理。
以下就是鸽巢原理的内容。假设一群鸽子栖息在一片树林中，鸽子的数目超过树木。当所有的鸽子落下来时，至少有一棵树上落了一只以上的鸽子。
这个故事听起来平淡无奇，因为鸽子数目众多，所以每只鸽子不可能都独占一棵树。如果这就是故事的结尾，它就不会如此有名了。要领会鸽巢原理，必须要看它能帮助我们解决什么问题。
接下来，让我们看看一个事例，该事例有些曲折。这句话本身就耐人寻味，但更耐人寻味的是它其中蕴含的鸽巢原理。该事例的内容是：在过去4 000年的某个时间段，在你的家谱中有过两个人，我们就叫他们A和B吧。A是B的父母的祖先。你的家谱图里有个回路，从B向上有两个分支，之后一起回到了A的身上。换而言之，因为有这个相对较近的共享祖先A，所以在你的祖先中会有一组父母，他们之间是有着血缘关系的亲属。
这里值得提及几件事。第一，在前面段落中的“你”就是真正的你，亲爱的读者。实际上，这件事有趣的特点之一就是，我能断言你和你的祖先，尽管你自己也未必清楚。第二，该论述不依赖任何关于人类进化或人类历史与地理范围的假设。以下是需要的几个假设：
1．每人都有自己的亲生父母。
2．百岁以后没有孩子。
3．人类至少存在了4 000年。
4．在过去4 000年里，至多有过10 000亿人生存过。（科学家的实际最佳估算是，有史以来大约有1 000亿人口，而我提高到10 000万亿只是为了安全起见。）
我们尽可能地使这4个假设不会引起争议，但即便是这样，第1个和第2个假设中仍然存有例外的情况，而且第4个假设有些过高估计，我们只要在论证过程中做些许调整就可以了。
现在，回到你和你祖先这个话题上。我们先来建立一个可以追溯到40代以前的家谱图：你、你的父母、你父母的父母，以次类推，倒推40个层级。由于每一代最多活100年，家谱图里所有的40代人都会在过去4 000年里出现。事实上，我们几乎可以肯定只需要往回追溯1 000年或1 200年就可以包含所有40代人的存在了，但为了保险起见，将时间增加为4 000年。
我们完全可以把你的家谱图视为一种组织机构图，上面列出了一堆需要人们填满的工作或角色。这就是说，依据这张家谱图，追根溯源，需要有人是你的母亲，有人是你的父亲，有人是你母亲的父亲，以此类推。我们把每一个这样的角色称为“祖先角色”，这个“工作”存在于你的祖先辈上，我们可以先谈论一下这份“工作”，先不着急把这个空缺填补上。在你的家谱图上，第一代包括两位祖先的角色，就是你的父亲与母亲。第二代包含4位祖先角色，即你的祖父祖母与外祖父外祖母；第三代则包含8位祖先角色，即你的曾祖父母那一辈。每回溯一代，祖先角色需要填补的数量就会翻倍，当你追溯到过去40代时，你会发现有超过10 000亿位祖先角色需要填补。
说到这时，就轮到鸽巢原理出场了。你的家谱图里最近的40代都发生在过去的4 000年里，我们认为最多有10 000亿人在此期间存在过。所以，比起曾经存在过的人（最多10 000亿），有更多的祖先角色（超过10 000亿）需要填补。因为我们在前面假设过，在这过去的4 000年里，至多只有一万亿人生存过，这带来关键的一点就是，在你的祖先中至少有两个角色，必须由相同的人来担任。我们把这个人叫作A。
我们已经识别了A，现在大体上就已经完工了。从将A填入到你祖先里的两个角色开始，我们顺着家谱图而下进行追溯。这两个祖先角色由A出发，在家谱图较低的地方与另一人产生一个后代，这个位置由B来填补。由于这两者在B这个地方首次会合，一个便是由B的母亲到此，另一个是从B的父亲到此。换而言之，A是B母亲的祖先，也是B父亲的祖先，就如同我们之前推出的结论一样。
一旦你退回一步，理解一下这些逻辑论证的作用，你会领会到如下几点：
第一，在某种意义上，这更多是关于简单数学结构而不是关于人。我们正在画一幅关于你家的超大家谱图，并试图将过去4 000年人类的历史填满。但由于数量过于庞大，我们无法完成这一填满的工作，所以部分特定人必须占一个以上的位置。
第二，这就是被数学家称为非建设性方式的论证方法。它并不是真的有办法让你在家谱图中找到A和B，但它会让你笃信，一定存在A和B，事实上这种的可能性也是微乎其微的。
最后，我想我所写的就算是一个典型的小插曲吧，它存在于鸽巢原理之中，存在于散布在数学王国里无声却有力的陈述之中。它是朴素的、微不足道的事实，看似无足轻重，但时常在恰当时挺身而出，使原本凌乱的状况变得清楚明了。
