最好的问题都是网络上问出来的。比如一个叫做“最后的话”(The Last Word)的网站上有这样一个问题:
“把一只冷冻的火鸡从多高的空中丢下去,火鸡落地的时候能被烧熟?”
好问题都要有几个初始假设,比如:
●火鸡由水组成,开始降落的时候是0℃的冰。
●火鸡是一个球体,半径为15cm(或者就用r表示)。
●当火鸡穿过大气的时候,消耗的能量一半进入火鸡,一半进入大气。
●我会忽略火鸡撞击地面产生的热量,我只想知道火鸡在撞击地面变成碎片之前的一瞬间有没有被烧熟。
●火鸡温度达到82℃的时候就算是烧熟了。
为什么我要从假设入手?因为这是把复杂问题简单化的一种手段。这看起来像是作弊,但其实不是的。比方说,以我的假设为前提,我算出要把火鸡烧熟,得从100m的空中把火鸡扔下去。这表明,对于一只真的火鸡来说,答案可能是50m~200m之间的任何一个数值。但肯定不会是100000米。这样的答案尽管不准确,但还是有用的。没错,这些数字都是我瞎编的。
既然有了假设,那么我来画张图说明一下。这是一只从高海拔的地方扔下去的球形火鸡:
这只落下来的火鸡怎么会被烧熟呢?原因就是空气阻力。当火鸡降落的时候,空气会撞击火鸡,产生类似摩擦力的效果。实际上,火鸡的温度上升源自空气撞击,和火鸡下方空气的压缩生热。是的,空气摩擦生热是个复杂的问题。不过可以肯定的一点是,物体穿过空气时一定会升温。就像双手合在一起摩擦会变热,下落的火鸡也一样。
这个温度的增加值要怎么计算呢?当处理物体运动一段距离的问题时,最有用的就是功能原理。该原理表述为,对一个系统所做的功,等于这个系统的能量变化。如果这个系统由地球、火鸡和空气组成,那么就可以考虑下面几种能量:
●动能:来源于物体的运动(主要是运动中的火鸡)。
●热能:随着火鸡的降落,火鸡和空气都会升温。
●重力势能:势能随着地球和火鸡之间距离的缩短而减少。
那么,对这个系统做功的是什么呢?在这个系统中,只有空气阻力对降落中的火鸡做功。在经典模型中,空气阻力的大小取决于空气密度、物体的形状和大小,以及物体的速度。
在行进中的汽车里把手伸出车窗,你就能自己测试一下一些空气阻力的性质。显然,空气会推动你的手。当你的速度变快(v的数值增加),这个推力也会增加。如果你把手握拳,手的形状就变了,横截面积也减小了,你感受到的推力也就变小了。
对于降落中的火鸡来说,随着降落的速度越来越快,空气阻力也会变大。然而,当火鸡降落到某一点时,空气阻力会和地球引力持平。这时火鸡受到的合力为零,降落速度趋于恒定,达到所谓的终极速度。下图表示的就是这只匀速运动中的火鸡:
那么这只火鸡降落的终极速度是多少?如果这只火鸡是个正球体,那它受到的引力和质量成正比。如果火鸡的密度均匀,那么质量和其半径的立方成正比。空气阻力和这个球体的横截面积成正比(横截面是圆形)。所以空气阻力和火鸡半径的平方成正比。最终结果就是火鸡的大小起到决定作用,因为大小所产生的效果不会被抵消掉。火鸡越大,终极速度也越大。
不知道为什么,我总是会惊讶于尺寸大小的这种决定性作用。也许我们都倾向于把这个世界看成一张铁路模型的图片。物体变小后,还是原来的物体,仅仅是变小了而已。但事实并非如此,大小真的很重要。
现在我们回到能量的问题上。重力势能是多少?大体上讲,物体所处的位置越高,它拥有的重力势能越大。当物体与地球表面的距离比较近的时候,势能随着高度的增加呈线性增长。如果距离非常远的话,问题就复杂了。保险起见,我会采用复杂情况下的重力势能。
要解决问题,还差一块拼图:热能和温度之间度关系。这两个数值有区别吗?当然。看一下这个常见的例子(我在之前的某一章用过这个例子,主要因为我很爱吃披萨)。假设你想要加热一些吃剩的披萨。如果你把披萨放在铝箔上,然后放进烤箱,最终披萨和铝箔会达到同样的温度(比如65℃)。披萨热好后,你可以很轻松地直接用手拿起铝箔。不过千万别直接用手去拿披萨,你会被烫着的。从根本上说,这两件物体拥有的热能不同。
当丢下火鸡的时候,我们希望火鸡能达到一定的温度(比如80℃)。火鸡越大,达到这一温度所需的热能就越大。
关于热能,还有一点要记住:火鸡和空气的热能都会增加。方便起见,我假设热能一半进入火鸡,一半进入空气。为什么是一半呢?火鸡得到一大半的热能行不行呢?不,一半就好。其实这只是一个近似值,所以一半或是其他任何比例都是合理的。
把上述条件综合起来,再取一只正常大小的火鸡,我算出要把火鸡烧熟,降落的高度应该是142000m。这个答案合适吗?不合适。为什么呢?因为这真的挺高的。可以把这个高度和国际空间站的轨道高度做个比较,国际空间站的轨道高度是300km。
除了高度很荒谬之外,还有什么问题不?首先,你也许会觉得应该考虑到空气密度不均,特别是因为火鸡要从那样一个高度降落。那么又来了,空气密度不均也许并不要紧。如果高海拔的地方空气密度很低,那么火鸡降落达到的终极速度会高得多。然而高海拔的地方空气做功更少,但是火鸡降到低处的时候运动的速度更高,这就弥补了高处空气做功的不足。
那受热不均会是个问题吗?当然。如果你从100km的空中把火鸡丢下去,用不了多长时间火鸡就会掉到地面,基本上不会超过十分钟。如果你想在十分钟内把火鸡烧熟会怎样呢?火鸡外面会烧焦的。
所以下次你家复活节聚会的时候,还是用普通的烤箱来烤火鸡比较明智。这你可得相信我。