如何理解引力公式？
引力公式中分子是两个物体质量的乘积，分母是距离的平方。我们如果在月球上计算铁锤和羽毛受到的月球引力，由于它们的高度相同，所以分母就相同。分子分别是它们和月球质量的乘积，所以一定是铁锤受到的引力远远大于羽毛受到的引力。这时候问题来了：为什么铁锤受到远远大于羽毛的力，可它们两个却同时落地呢？按理来说铁锤还是要先落地才对啊！这时会有人回答：原因在于质量，因为质量越大，改变它运动状态所需要的力就越大。能这样回答的人高中物理就算学得比较扎实，他们对质量的理解已经比较到位了。在他们心中，物体的质量指的是使物体改变运动状态的难易程度。所以现在的解释就是：质量更大的铁锤虽然受到了更大的力，但是也因为它自身质量大，动起来的难度很大，加速下落起来也更费劲，最终会和羽毛同时落地。
但是如果继续追问：一个让铁锤比羽毛更快落地的因素，和另一个让铁锤比羽毛更晚落地的因素，两个因素叠加在一起以后为什么精确地相互抵消了呢？为什么不是其中一个因素略微胜出呢？这个问题牛顿没有给出解释，但他在写《自然哲学的数学原理》时曾经讨论到了这一点，受限于科学尚未到达那么先进的地步，所以牛顿的解释略微生硬：大自然就是这样的。
刚刚我们说过，质量大的物体受到的引力也大，本来应该让物体运动状态改变更剧烈，但是这个因素被它本身的大质量，也就是大大的惰性精确地抵消了，不多一分也不少一分。这样的情况还出现在所有以平方反比规律出现的场合，比如静电力的公式中。在引力场或静电场中，我们不关心某一点上受到的力具体有多大，而关心当这一点距离这个场的中心越来越远时，它受到的力的大小怎么变化。从公式中我们可以看出是按平方反比的规律削弱下去的。当然，公式之所以正确是因为我们发现它和实测值非常精确地吻合。但如果我们从另一个角度去想，假如不是在一个引力场或者电场中，而是一个漂浮着的球，这个球里面均匀地充满了PM2.5颗粒。当我们把气球吹得越来越大，球面上PM2.5在单位面积上的浓度也按照平方反比的规律稀释。我之所以用PM2.5做例子，其实是为了理解上方便一些，其实我们并不需要这个东西，空间本身就是按照这样的规律张开的。球面是二维的，所以球面积的大小和半径的平方，这两个数字本来就是严格对应的。也就是说，凡是符合平方反比规律的物理量，它实际上就是严格地跟随空间的展开而展开，跟随空间扩大而完全均匀地稀释，不多稀释一丝一毫。如果稀释的速度比空间扩张得快，就说明在这个空间范围里，这个物理量无缘无故地消失了一些；稀释得慢一些，就说明在这个空间范围里，这个物理量无缘无故地增加了一些。而如果想到了这一点，就会触及所有人类脑中一个根深蒂固的思维：守恒。原始人靠采集和狩猎为生，今天掏了10个鸟蛋，吃了4个，那么一定还剩下6个，如果这时原始人发现只剩下5个，那他绝对不会认为理所应当，一定会想法查清楚怎么少了1个蛋。现代人从路由器设置界面发现一天的流量是10GB，可自己电脑和手机上流量总和是8GB，那他一定也会开始怀疑有邻居蹭网了。而守恒也是物理学家脑中根深蒂固的思想，我们甚至把这称作公理。公理是人类认知上最基础的一级，没法再追问公理为什么是正确的。
物理学家是在公理的基础上进行测量和研究的，他们是“最激进的保守主义者”。这句话是一个曾经参加过曼哈顿计划的美国物理学家惠勒说的。物理学家的保守体现在：大部分人都会尽量使用现有的理论做研究，直到新的发现用现有理论实在不能解释了，误差实在大到无法接受的地步为止。这就是一种奥卡姆剃刀的精神：如无必要，勿增实体。比如今天的中学物理课中，牛顿在300年前发现的定律仍然是教学重点。不光是学生，就连科研团体，或者一些软件中模拟物理运动的算法，也仍然在用牛顿力学的知识处理运动问题。这是因为在这些领域中面对的问题用牛顿定律解出来依然和现实符合得很好。这就是物理学家保守的一面。
激进指的是什么呢？指的是这些物理学家们不甘于舒舒服服地待在从前理论可以精美描述现实的这个范围内，他们总是试图用最极端的方式突破这个范围。他们会把理论带到各种各样极限的状况去看看这个理论是不是出了问题。当然，在更新的理论诞生之前，物理学家们可能根本不知道自己的尝试称不称得上是一种极限状态的挑战，但起码他们是利用已知的最极端的方式去做了，有的时候之前的理论完全可以禁受得住考验，在那种极端状态下根据理论计算出的结果和实测值依然吻合得很好，那这一理论就能继续用下去。有的时候就会产生严重的问题，所以物理学家们就相当于试出了从前理论适用的边界。从这一点上看，物理学家的激进不亚于任何狂热分子。
加州理工学院数学系教授，同时也是东京大学理论物理研究所主任大栗博司曾经说过，如果回顾过往，物理学的发展是以“10亿”米的台阶一步一步向上或向下探索世界的。原始人能理解的都是与他们身高差不多的现象，但农业的发展导致了人们对制作日历的需求，人类从自身活命的需求开始，再结合一点点对未知世界的兴趣开始关注太阳、月亮和星星。人类文明的第一个巅峰出现在公元前200多年的古希腊。那个年代最著名的城市就是亚历山大城，城里有一个图书馆，藏书有60多万册。那时候一的价格，普通人一辈子劳动都不一定买得起，所以这座图书馆可以算是整个古希腊最宝贵的财富。当时图书馆馆长的儿子第一次估算出地球的大小。这不是一个孤立的发现，有些事儿能做出来，之前是需要相当多铺垫的。比如，如果地球大小的数值被正确地估算出来了，就说明这个文明关于三角形的数学基础理论已经搭建好了。这样的例子还有：假设我们在考古发掘中突然发现了一份8万年前的手稿，翻译过后知道，这份手稿记录的是地球上曾经在2.3亿年到6500万年前生活过恐龙，但后来恐龙灭绝了，那么我们就可以断言在8万年前的那个遗失了的文明起码已经发展出了原子核物理。因为要鉴定化石的年代，至少需要碳-14年代测定、铀系法断代、含氟量断代这些方法，而这些方法都建立在原子核物理的基础上。而且依照这样继续推论下去，那个文明的微分方程和线性代数也都很成熟了。
在古希腊时期物理学发展迈上了第一个10亿米，因为就在那时算出地月间距为40万公里，所以就是4亿米。但是随着亚历山大图书馆被毁，古希腊文明消失后，人类文明走了一个长长的大下坡，在长达1600多年的时间内人类好像从不知道古希腊文明在科学上的研究结论，重新进入了愚昧无知的状态。直到牛顿出现后，科学的高度才全面回到了古希腊时期。牛顿定律描述1～10亿米这个范畴的现象基本都很准确。下一台阶就是10亿米的10亿倍，这是一个典型的星系的尺寸。牛顿定律主要针对太阳系内的运动，延伸到10亿米的10亿倍后就走到了牛顿定律的极限状况，这时用到的就是爱因斯坦的相对论。上这个台阶用了300年时间，但从10亿米的10亿倍再到下一台阶，就是10亿米的10亿倍的10亿倍，只用了70年时间，这时爱因斯坦的理论也在这个范围的边界处暴露了一些缺陷。从某种意义上说，这已经是宇宙的尽头了。
如果往越来越小的尺度去看呢？也是这样的。纳米就是10亿分之一米量级的单位，在这个尺度的世界牛顿定律也失效了，物理学家不得不发展新的理论，那就是量子力学。现在，物理学家又开始在10亿×10亿分之一米的尺度上观察量子力学是不是还符合观测。人类要观察那么小的世界使用的工具就是粒子加速器。虽然这个尺度下还没有完整的理论，但物理学家们激进的行为已经导致了粒子物理的标准模型出现了矛盾，之后必然要诞生这个尺度下可用的理论。
对于宇宙尽头的说法，理论上说我们应该可以看到137亿年前宇宙诞生时的样子。但是宇宙自诞生后，很长一段时间内都处于等离子态，如此强烈的带电环境会严重影响电磁波的行为，使得我们看不到任何诞生的场景。这个过程大约持续了几十万年。从前我们对这种情况束手无策，但是2016年春节期间LIGO公布了引力波的发现，这让我们有机会通过引力波看到宇宙诞生之初的样子。
如果了解10亿一个台阶的理论你就会知道，之后就算产生新理论也只会产生在小数点后第N位。不会有哪个新理论出现以后，从前已有的成熟理论被证伪或推翻，因为在现有观测中，已有成熟理论都符合得很好，只有那些我们目前无力观察的下一个10亿倍台阶的世界才会产生新理论。我们不可能在科学进展过程中发现真空中光速变成每秒15万公里这样的让人跌破眼镜的“新理论”。
解读
为了方便理解，这篇文章直接把欧几里得空间说成是空间。也就是说，平方反比定律在平直空间中和现实吻合得非常精准。但这只是1915年之前的情况。在之后的科学进展中，平方反比定律在某些场合并不精准，很多实验都证实了空间本身被巨大的质量扭曲了。
那么牛顿的时空观错了吗？没有错，只是牛顿提出的时空模型在更精确的测量中不那么准确了。现在科学家使用广义相对论这个模型可以更好地吻合测量结果。所以，我们的真实世界既不是牛顿描述的那样，也不是广义相对论描述的那样。那真实世界是怎样的呢？这样的问题没有多大意义，因为我们测出什么样，它就是什么样。我们不仅要测量，还寄希望于找到一套理论可以圆满地解释测出的所有结果。
在这样的愿望下，科学家们确实一次次找到了更准确描述世界的理论，而且这个理论经常和纯数学结构是吻合的。历史上有几位坚信这一点的人都为人类文明做出了巨大贡献。古希腊的毕达哥拉斯、欧几里得、苏格拉底、柏拉图、亚里士多德相信世界可以用几何与数来解释，这些数学已经是现代人都掌握的基础数学；牛顿的《原理》在思想体系上继承了古希腊学者对世界的描述，而数学工具已经进化到微积分；麦克斯韦、爱因斯坦、狄拉克、杨振宁也是从数学结构入手，在解释世界上做出突破的。
所以，如果你对“世界是什么样的”“什么是存在”这样的问题感兴趣，了解当前物理学的理论、知道如何测量、学懂数学是最有效率的方式。
