直到现在，有一件事情给我留下的印象还非常深刻。在我还很小的时候，曾经看到一个秃顶的人，他手里拿着一个很小的仪器对着一棵很高的松树。他想测量这棵松树的高度。只见他拿起一块方形的木板，然后对着松树瞄了一下。我还以为，这个人会拿着皮尺爬到树上去，可没想到，在做了这些后，他就把那个小仪器放回包里了，然后拍拍手说：“好了，测完了。”可我觉得他根本还没有开始测量呀！
当时，我的年龄还很小，对这个人的测量方法感到非常困惑，不知道究竟是怎么回事，觉得就好像是魔术一样。后来，我上了学，慢慢接触到了几何学，我才知道，这其实根本不是魔术，原理也很简单。测量树根本不需要进行实际的测量，只需要运用几种简单的仪器就可以了，而且方法有很多种。
在公元前6世纪，古希腊哲学家泰勒思发明了一个方法，也是现在被认为最古老、最容易的方法。当时，他用这种方法来测量埃及金字塔的高度。在测量金字塔高度的时候，他利用了金字塔的影子。当时，包括法老和祭司在内的很多人都聚集到了一起，就是为了看一下这位哲学家是怎么测量高大的金字塔的。据说，当时泰勒思选择了一个特殊的时间，在那个时间，他自己的影子长度正好跟自己的身高相等。这样，只要测量出金字塔影子的长度就可以了，因为这个长度正好也等于金字塔的高度。只不过，金字塔影子的长度要从塔底的正中心计算，而不是从金字塔的边缘计算。泰勒思正是从自己的影子中得到了灵感，发明了这个方法。
现在，对于这位哲学家发明的这个方法，即使是小孩子，也很容易明白其中的道理。但是，我们不得不承认，是因为我们学了几何学这门学科，才做到的。在当时，可没有几何学。大约在公元前300年，古希腊数学家欧几里得写过一，对几何学进行了系统的论述，直到今天，还被我们学习运用。对于现在的中学生来说，的很多定理都非常简单，但是在泰勒思那个时代，还没有这些定理。而在测量金字塔高度的过程中，必须利用到其中的一些定理，也就是下面的这些三角形特性：
●等腰三角形的两个底角相等。反过来，如果三角形有两个角相等，那么这两个角的对边也相等。
●对于任意一个三角形，它的内角和等于180°。
泰勒思发明的测量高度的方法，正是建立在三角形的这两个特性之上的。当影子的长度等于他的身高时，就说明太阳照向地面的角度正好等于直角的一半，也就是45°。这时候，金字塔的高度和影子的长度正好是一个等腰三角形的两条边，所以它们是相等的。
如果天气比较好，在太阳的照射下，大树便会有影子。这时，便可以利用这种方法来测量大树的高度。不过最好是独立的大树，否则，它们的影子会重合，不便测量。但是，如果是在纬度比较高的地方，这个方法并不是很好用。这是因为，在这些地方，只有在夏天中午很短的一段时间里，影子的长度才会跟物体的高度相等。所以说，并不是所有的地方都可以用到这个方法。
不过，在这种地方，我们可以把这个方法改进一下，只要有影子就可以得到物体的高度。这时，需要做的工作就是，先分别测量出物体的影子和自己的影子的长度，然后利用下面的比例关系计算出物体的高度，如图所示。
AB∶ab＝BC∶bc
图 利用阴影的长度来测量树的高度。
图 为什么在路灯下这种测量方法不适用？
这个关系之所以成立，也是利用了几何学中的知识，如果两个三角形ABC和abc相似，那么它们的对应边就是成比例关系的。所以，物体的影子长度与身体的影子长度的比值，就等于物体的高度跟身高的比值。
你可能会疑惑，这么简单的道理，还需要用几何学来证明吗？如果没有几何学，难道我们就没有办法得到物体的高度了吗？其实，事实就是这样的。如图所示，如果把刚才的方法运用到路灯以及它所形成的影子上，就不适用了。从图中可以看出，柱子AB的高度是矮木桩的3倍，但是它们的影子BC和bc却不是3倍的关系，而是差不多8倍的关系。如果没有几何学，要想充分解释这个方法的原理，并且说明为什么这个方法在此时行不通，是很难的。
【题目】为什么这个方法对路灯的影子就不适用了呢？跟前面测量大树的情形有什么区别？我们知道，我们都把太阳照射出来的光线看作是平行的，而路灯就不一样了，从路灯发出的光线并不平行，关于这一点，从图中我们可以很明显地看出来。那么，为什么太阳发出的光线是平行的呢？太阳光不也是从同一个太阳发出来的吗？
【解答】我们之所以把太阳发出的光线看作是平行的，是因为从太阳发出的光线间的角度极小，几乎可以忽略。关于这一点，我们可以用几何学的知识进行证明。假设从太阳上发出了两条光线，照射到地球上的某两个点，不妨假定这两个点的距离有1000千米。如果我们有一个巨大的圆规，将其中的一只脚放到太阳的位置，另一只脚放到刚才的其中一个点上，画一个圆。很显然，这个圆的半径正好是地球到太阳的距离，也就是150000000千米。换算一下，很容易得到这个圆的周长，它等于：
2×π×150000000≈940000000（千米）
刚才选取的两点间的距离是1000千米，也就是圆上的一段弧长是1000千米的弧。我们知道，在圆周上的每一度对应的弧长都是圆周长的
。换算一下，也就是：
每一分的弧长就是这个数值的
，约为43000千米，每一秒的弧长又是这个数值的
，即720千米。
我们刚才提到的弧长只有1000千米，也就是说，它对应的角度是
秒，这个角度几乎可以忽略不计，即便是用精密的仪器，也很难测量出这么小的角度。所以，在地球上看来，太阳发出的光线完全可以看作是平行的。
需要说明的是，太阳照射到地球直径两端的光线之间的夹角大约是17秒，这个角度可以用仪器测量出来，科学家也正是利用这个角度才计算出地球与太阳之间的距离的。
由此可见，如果没有几何学的知识，对于前面提到的测量高度的方法，
我们根本没有办法解释。
不过，在实际运用这个方法进行测量的时候，并不是一件容易的事情。这是因为影子边缘的分界线并不是十分分明，所以在测量影子的长度的时候，就很难测量准确。太阳照射到物体上的时候，形成的影子边缘会有一个轮廓，这个轮廓呈现出的是半影，这就使我们很难准确地找到影子的边缘。之所以会产生半影，是因为太阳这个发光体太大了，光线不是从一个点上发出来的。如图所示，树的影子BC在边缘处会多出来一段若隐若现的半影CD。实际上，半影CD的两端与树梢形成的夹角CAD与我们看向太阳直径两端形成的夹角是相等的，这个度数大约是半度。即使是在太阳的位置比较高的时候，也会存在半影，所以这时候就会产生测量误差。有时候，这个误差可能会达到5%，甚至更多。再加上其他因素的影响，比如，地面凹凸不平，就会导致误差更大。所以，如果在丘陵地带，这个方法是不适用的。
图 半影是如何形成的？
