在本章中，我们要学习的是仅仅根据正弦函数的概念，不用公式和函数表，就可以计算出任何一个三角形的边长，并且精确到2％，内角的计算可以精确到1°。比如，在郊游的时候，你身边没有函数表，并且忘记了计算的公式，就可以用这里的方法。如果鲁滨孙也知道这种方法，就可以解决他遇到的很多问题了。
现在，我们假设你根本没有学过三角学，或者你学过，但是已经忘得一干二净了。我们先从最简单的计算开始。在一个直角三角形中，其中一个锐角的正弦值怎么计算呢？其实，它就等于这个角的对边跟三角形的弦的长度之比。比如，在图（a）中，角a的正弦就是
，或者
，或者
，或者
。利用相似三角形的性质，我们知道，它们都是相等的。
如果没有函数表，从1°到90°各个角度的正弦值怎么计算呢？其实方法很简单：我们可以自己编一个函数表。下面，我们就来学习一下。
在几何学中，我们已经知道一些正弦值的角度，比如，角度如果是90°，那么它的正弦值等于1，那么45°角呢？根据勾股定理，我们可以很容易得出，它的正弦值等于
也就是0.707。如果是30°，这个角的对应边的长度等于直角对应边的一半，所以它的正弦值就是
。这三个角的正弦值就是下面的式子：
图 直角三角形中一个锐角的正弦函数。
sin30°＝0.5
sin45°＝0.707
sin90°＝1
当然了，如果只知道这三个角的正弦值，要想解答几何学上的题目，是根本不够的，我们还需要知道中间一些角的正弦值。如果这个角的角度很小，那么在计算的时候，就可以利用弧长跟半径的关系来代替对边和弦，这样的误差也会比较小。在图（b）中，我们可以看到，
相差很小，而后面这个比值很容易计算出来。比如，1°角对应的弧长BD是
，所以，sin1°可以用下面的式子计算：
运用同样的方法，我们可以得出：
sin2°＝0.0349
sin3°＝0.0523
sin4°＝0.0698
sin5°＝0.0872
不过，需要指出的是，这一方法只适用于角度较小的正弦值求法，如果角度较大，误差就会比较大了。
比如，我们用这个方法来求sin30°，那么得出的正弦值就是0.524而不是0.500，也就是说，误差是
，已经达到了5%。
利用这种方法，我们来计算一下它的界限。如果用精确的方法计算sin15°的值。如图所示，我们做一个这样的图。假设
。延长BC到点D，使CD＝BC，连接点A和点D，三角形ADC和三角形ABC是全等三角形，而且，角BAD等于30°。然后，再从点B引一条垂线BE相交于AD，则三角形BAE是直角三角形。其中，角BAE等于30°，所以
图 求出sin15°的方法。
根据勾股定理，我们可以根据下面的式子求出AE：
所以：
ED＝AD－AE＝AB－0.866AB＝0.134AB
在三角形BED中，我们有：
而BC的大小是BD的一半，也就是0.259AB，所以，我们可以得到：
在函数表中，sin15°的值就是这个数值，如果用刚才的方法，得到的数值是0.262，如果取前两位数，都是0.26。跟0.259比起来，这个数值的误差是
，也就是大约0.4%。所以，如果角度在1°～15°，都可以用前面的方法计算出它们的正弦值。如果角度在15°～30°，它们的正弦值可以用比例关系计算。比如，sin30°跟sin15°的差值是0.5－0.26＝0.24，所以我们可以认为，角度每增加1°，正弦值就会相差这个数的
，也就是
。从严格意义上说，这个关系并不精确，但是误差一般体现在第三位小数上，通常我们只取前两位小数，所以还是可以满足我们的要求的。根据这个方法，我们可以得到：
sinl6°＝0.26+0.016≈0.28
sinl7°＝0.26+0.032≈0.29
sinl8°＝0.26+0.048≈0.31
sin25°＝0.26+0.16≈0.42
……
在上面的这些数值中，前两位小数都是准确的，完全满足我们的要求，跟真实值相比，它们的误差都小于0.005。
如果角度在30°～45°，也可以这么计算。我们知道，sin45°－sin30°＝0.707－0.5＝0.207。把它除以15，等于0.014。把它分别加到30°的正弦值上，我们可以得到：
sin31°＝0.5+0.014≈0.51
sin32°＝0.5+0.028≈0.53
sin40°＝0.5+0.14≈0.64
……
这样，我们就得到了45°以下角度的正弦值了。根据勾股定理，我们就可以求出大于45°的锐角的正弦值。比如，要求出sin53°的值，也就是图中
的值。在图中，角B等于37°，所以利用前面的方法，我们可以得出它的正弦值是0.5+7×0.014＝0.6，而
，也就是AC＝0.6AB，那么，BC的长度就是：
只要会开平方根，这样的计算会变得很简单。
图 以上角的正弦函数值。
