相信读者们一定听说过“方圆问题”，就是已知一个圆的面积，要求做一个正方形，面积和这个圆的面积相等。这是几何学上的一个著名的题目。在2000年前，数学家们就开始研究它。我确信，在读者朋友中间，肯定有人也曾经试图解答它。但是，对于很多读者来说，对于这个问题的不可解可能没有深入研究，对它困难的理解也是千奇百怪。很多人可能会随着别人说，方圆问题不可解，但是，对这个问题的实质和解答上的困难之处，却并不清楚。
在数学上，不管从理论上说，还是在实际应用中，有很多题目都要比方圆问题有趣得多。但是，没有一个题目会像方圆问题一样，被大家所熟知。关于方圆问题，已经是老生常谈的题目了。2000年来，很多杰出的数学家和数学爱好者，为解答它付出了巨大的努力。
其实，在实际应用中，经常会碰到这个题目。在实际生活中，通常以一个近似值作为解答。但是，这个有趣的古老问题，却要求人们非常精确地画出这个等面积的正方形。作图的条件只有两个：
●已知圆心的位置和半径，画出这个圆。
●已知两个点，通过它们作一条直线。
题目要求只使用两种绘图工具来作图，一个是圆规，一个是直尺。
在非数学界人士中，流传着这样一种看法：他们认为，这个题目的困难就在于圆周和直径的比，也就是π值，不可能用一个精确的数值来表示。其实，这只是狭义上的理解，这是由π的本质决定的。实际上，如果把一个矩形变成一个等面积的正方形，这是很容易的，而且可以完成得非常精确。那么，要把一个圆变成一个等面积的正方形，就相当于只用直尺和圆规作一个等面积的矩形。我们知道，圆的面积公式是：
S＝πr2或者S＝πr×r
从这里可以看出，圆的面积就等于一个边长是r的正方形面积的π倍。所以，问题就演变为作出一条某个长度的π倍的线段。我们知道，π的精确值并不是3
，也不是3.14或者3.14159。π的值是一个位数无止境的数字。
这就是π的特性，它是一个无理数。在18世纪的时候，数学家朗伯特和勒尔德尔指出了它的这一特性。但是，π是无理数这一点并没有使那些狂热求解这一问题的人中断努力。在他们的理解中，即便π是无理数，并不代表这个问题是不可解决的。实际上，确实有一些无理数是可以用几何学的方法把它们的图作出来的。比如，要求作一段某个长度的
倍的线段。我们知道，
也是一个无理数。其实，这个问题很容易解决。只要作出一个正方形，使它的边长等于这个长度，那它的对角线长度就是要求的线段。
如果要作
的线段，即便是初中生，也很容易找到答案，这其实是一个圆的内接等边三角形的边长。不仅如此，下面的这个无理数，也可以用图的方法作出来：
要想求出这个式子的值，只要作出一个正六十四边形就可以了。
由此可见，一个无理数，并非完全不可能用圆规和直尺作出它的图来。所以，方圆问题不可解，并不仅仅是因为π是一个无理数，而是因为π的另一个特性。π其实并不是一个代数学上的数，所以它不可能是一个有理数方程的根。我们把这种数称为超越数。
14世纪的时候，法国有一位数学家叫维耶特，他证明了下面的式子：
如果这个式子中的数是有限次的运算，那么就可以解决方圆问题了，我们就可以用几何学的方法把这个式子作出图来。但是，上式中的分母是无穷的，所以这个公式对于解决方圆问题并不能带来帮助。
也就是说，方圆问题之所以不可解，是因为π是一个超越数，它不可能由一个有理系数的代数方程解出来。在1889年，德国有一位数学家叫林特曼，他严格证明了π的这一特性。所以，从某种意义上说，他也是唯一成功解答方圆问题的人，虽然这个答案是否定的，但是，他证明了，在几何学上，方圆问题是不可能作出图来的。于是，1889年以后，很多数学家都放弃了这一努力，方圆问题也告一段落。可惜的是，仍然有很多数学爱好者并不了解这一历史，所以他们一直在做着没有结果的努力。
这就是关于方圆问题的理论。
实际上，这个问题并不需要非常精确的解答。对于我们的日常生活来说，只有对这个问题有一个近似的求解方法，就足够了。
事实上，要作一个和圆的面积相等的正方形，只要取π的前七八位数就可以满足我们生活中的需要了，再多了也没有什么用。比如，取π＝3.1415926就足够了。一般长度的测量，不可能得到七八位数的结果，更不用说更多位数了。如果采用8位以上的π值，是没有什么实际意义的，最后得到的精确度也不可能因此而更好。如果我们用7位数来表示半径，那么即便你用一个100位的π来计算，最终得到的圆周长的精确值也不会多于7位。以前，有些数学家花了很多精力取尽可能多的π的位数，实际上没有任何价值。而且，这种事情对于科学发展起的作用也非常微小，只是需要一些耐心而已。如果读者朋友感兴趣，也有足够时间的话，可以试一下。比如，利用下面的莱布尼兹无穷级数，计算出π值的上千位数字：
这里的计算必须非常小心，即便在上式中取2000000项，最终得出的π值也就是6位数。所以，这个练习题对于任何人来说都没有什么用处，更不可能有助于几何学题目的解答。
法国的天文学家阿拉戈对这一问题也有研究，他曾说过：那些想解答方圆问题的人，仍然在继续解答这个题目。其实，这个题目的不可解，早就已经被人们证明了。而且即便这个题目是可解的，对于我们的实际生活也没有什么意义。那些自以为聪明的人、专心求解的人，是不可能得到结果的。
最后，他还在文章中对这一现象进行了讽刺：
在所有国家的科学院，一直在跟那些想要求解方圆问题的人作斗争，结果发现，这已经成了一种季节病，在春天的时候会爆发。
