何时两数乘积最大

很多求变数的最大值或者最小值的题目，都可以利用代数定理来求解，在这之前，先来看下面的题目，求何时两数乘积最大。

【题目】两个数的和一定，要想它们的乘积最大，这两个数应该分别是多少？何时两数乘积最大？

【解答】设两个数的和为a，则所求的两个数可以表示为

其中x表示每个数与

的差。那么，它们的乘积为

很明显，x越小，这个乘积就越大。当x=0，也就是分成的两个数相等时，它们的乘积最大。

下面，再来看3个数的情形。

【题目】设3个数之和为a，如何分成三个数才能使它们的乘积最大？

【解答】对于这个题目，需要用到前面题目的结论。

假设分成的3个数互不相等，也就是说，每个数都不等于

，那么这3个数中必定有一个大于

，设这个数为

同理，这3个数中必定有一个小于

，设这个数为

其中，x和y都是正数。显然，第三个数就是

由于

与

的和等于

与

的和而前面两个数的差为（xy），小于后面两个数的差（x+y）。那么，根据上一个题目的结论，有

这样的话，如果把

和

换成

，第三个数不变，那么它们的乘积就会增加。

现在假设其中一个数为

，另外的两个数就可以表示为

如果这两个数也等于

，那么它们的乘积就会更大。这时的乘积等于

换句话说，如果把a分成互不相等的3个数，它们的乘积一定比上面的乘积小。即将a平均分成3部分时，它们的乘积最大。

同理，可以证明4个数、5个数，甚至更多数的情况。它们都是在各部分相等的时候乘积最大。

下面，来讨论更一般的情形。

【题目】如果x+y=a，那么当x和y各取什么值时，x^py^q的值最大？

【解答】本题实际就是求x为何值时，式子

x^p(a-x)^q

的值最大。

将上式乘以

，得到

很明显，当这个式子的值最大时，前面的式子取到最大值。

对上式进行以下变换：

上面所有乘数的和

显然，它们的和为常数。

根据前面的分析，可以得到下面的结论：

当各个乘数相等的时候，它们的乘积

取得最大值，即

时，上面的乘积最大。

由于ax=y，所以可以得到下面的式子：

也就是说，当x和y满足上面的关系时，x^py^q取得最大值。

同理，可以证明：

如果x+y+z保持不变，x^py^qz^r在x:y:zp:q:r=时取得最大值；

如果x+y+z+t保持不变，x^py^qz^rt^u在x:y:z:t=p:q:r:u时取得最大值；

……