如果读者朋友们学习过几何学知识，肯定会发现这样一个问题：在马因·里德的小说中，少年航海家在计算两个圆台的体积时，所采用的方法是不精确的。如图所示，如果我们用r表示圆台小底面的半径，用R表示大底面的半径，用h表示桶高，每个圆台的高度就是
。少年用下面的式子计算容积：
图 木桶体积的计算。
但是，根据几何学的知识，圆台的体积计算公式为：
可以看出，这两个式子是不相等的，通过计算，我们可以得到，后者比前者要大一些，这个差值是：
如果学习过代数学，我们就会知道，这个差值
是一个正数，也就是说，少年航海家得出的结果比实际结果要小一些。
那么，究竟小多少呢？这可是个很有意思的问题。一般情况下，在制作的时候，水桶最粗的地方要比底面直径大
。也就是说，
。假设小说中的那个水桶就是这样的，那么，我们可以求出两个圆台的体积跟实际体积的差值：
如果把π看作3的话，这个差值就是
。也就是说，如果按照少年的计算方法，得到的体积跟实际体积的差值正好是以水桶的最大横截面作为底面、以水桶高度的
作为高的一个圆柱的体积。
其实，实际的差值比上面的结果还要大一些，这是因为水桶的容积比两个圆台体积的和要大。从图（右）可以看出，少年在计算的时候，并没有考虑图中阴影的部分，他把这部分忽略了。
前面关于水桶容积的计算方法，并不是马因·里德小说中描写的那位少年航海家自己想到的。在很多初等几何学书籍中，都利用这个方法来计算水桶容积的近似值。需要说明的是，要想精确计算出水桶的容积是很难的，对于这样的题目，在17世纪的时候，德国的天文学家开普勒也花了一番心血，试图求出它的精确值，在他留给后世的一些论文中，还有关于这个题目的专门讨论。但是，迄今为止，还没有找到可以求出精确值的简便方法。现在，人们只能通过实际经验，计算出一个近似值。比如，在法国南部，人们是用下面的公式来计算的：
水桶的容积＝3.2hRr
实践证明，这个公式非常好用。
说到这里，还有一个问题，不知道读者朋友想到没有，就是：为什么要把水桶造成凸肚的形状呢？这样又不便于测量。为什么不把它造成标准的圆柱形状呢？其实，有很多桶的形状是圆柱形的，不过都是一些金属原料制成的，而不是木头制成的。那么，为什么要把木桶造成凸肚的形状呢？难道这种形状有什么优势？
是的，之所以把木桶造成凸肚的形状，就是因为这样可以很容易地把套到木桶上的桶箍套牢。在木桶的一头套上桶箍之后，用锤子把它向凸肚的地方敲下去，就可以把桶箍牢牢地套在木桶上，这样木桶就会非常坚固。
同样的道理，所有用木头制成的水桶、水盆等，都要造成这种圆台的形状，而不是圆柱形，如图所示，桶箍都是用同样的方法敲上去的，从而把水桶箍紧。
说到这里，我想顺便提一下开普勒关于这个题目的见解。在发现行星运动的第二定律（面积定律）和第三定律（周期定律）时，开普勒就注意到了木桶的形状问题，并进行了一些研究，他还以此为题，写了一篇论文，题目是《酒桶的立体几何学新论》。在论文的开头，他是这样写的：
图 桶箍可以把桶箍紧。
根据制造材料和使用需要，盛酒用的大桶有很多形状，有的是圆锥形，有的是圆柱形。如果把液体存放在金属制成的容器中，经常会因为锈蚀而腐败；而玻璃制成的容器或者陶器又不够大，也不够坚固，石头制成的器皿又太重，也不适合。所以，保存酒的办法只有一个，就是把它装在木头制成的容器中。如果把整个树干挖空，来制作木桶，这样制成的木桶不够大，而且也很难大量制造，即便造成了，也有可能破裂。所以，只能把一片片的木板拼凑起来，来制造这种木桶。最后，就是如何防止液体从缝隙间渗漏的问题了，即便用任何可能想到的材料填塞，都是不可能的，唯一的办法就是用桶箍把它们箍紧……
如果可以用木板制成一个球形的容器，那是最好不过了。但是，要想把木板箍成一个球形，这是不可能的，所以只好采用圆柱形了。而且，这个圆柱形还不能是十分标准的圆柱形，否则随着使用时间的延长，桶箍会变松，也就没有用了，没法继续箍紧那些木板了。所以，这个圆柱形必须是类似圆台的形状，木桶的中间要粗一些，这样，如果桶箍松动了，还可以继续向中间移动，箍紧木板。而且，这种形状便于搬运，汲取里面的液体也比较容易。另外，它的两边是对称的圆形，滚动起来也很容易，还非常美观。
这就是论文中的一段，读者朋友可不要以为这只是开普勒在随意调侃，这其实是一篇十分严肃的论文，其中，他引入了无穷小和微积分的原理，通过这个木桶，以及它体积的计算方法，把开普勒引向更深入的数学思维之中。
