开普勒提出了行星运动的三大定律，其中的第一条是这样的：行星的运行轨道都是椭圆形的。对于这一论述，很多人都会感到困惑，太阳吸引各个方向的物体的力量应该是均匀的，而且，随着距离的减小，引力也同等程度减小，那行星为什么不是沿着圆形的轨道而是椭圆形的轨道运行呢？即便轨道是椭圆形的，太阳为什么不在轨道的中心位置呢？
如果想用数学方法来分析这个问题，需要用到高等数学的内容，分析起来比较复杂。有没有一种方法，只需要简单的实验和初级数学理论就能讲清楚这一问题呢？答案是肯定的。只需要尺子、圆规以及一张大一些的白纸就可以了。下面，我们就来看一下具体的方法。
如图所示，图中的大圆圈表示太阳，小圆圈表示行星，箭头表示万有引力，而且，箭头的长短表示引力的大小。
不妨假设某颗行星到太阳的距离是1000000千米，我们在图中画一条5厘米的线段来表示这一距离，也就是说图中比例尺为1厘米表示200000千米。用0.5厘米长的箭头表示太阳对这颗行星的引力。
图行星距离太阳越近，受到太阳的引力就越大。
假设在引力的作用下，行星慢慢向太阳靠近，直到距离太阳900000千米为止，也就是图中4.5厘米处。根据万有引力定律，此时太阳对这颗行星的引力应该增大到原来的
倍，即1.2倍。一开始，我们把它们之间的引力用0.5厘米的箭头来表示，那么，表示此时引力的箭头应该变成原来的1.2倍长，也就是0.6厘米。如果行星到太阳的距离变为800000千米，即图中的4厘米处，此时的引力将增大到原来的
倍，也就是1.6倍，箭头就会变长至0.8厘米。如果行星继续向太阳靠近，它们之间的距离减小到700000千米、600000千米和500000千米时，那么，表示引力的箭头就相应地变成1厘米、1.4厘米和2厘米。在相同的时间内，天体在引力作用下的位移跟这个引力的大小成正比。所以，前面提到的箭头除了可以用来表示引力的大小外，也可以用来表示天体位移的大小。
其实，我们还可以继续画下去，甚至可以把行星位置的变化图绘制出来，也就是这颗行星围绕太阳运行的轨道。如图所示，假设在某个时刻，有一颗跟图中行星等质量的行星以2个单位的速度沿WK方向运动到点K。如果此时行星到太阳的距离是800000千米，那么，在引力的作用下，过一段时间后，它会运动到距离太阳1.6个单位的位置。假设在这段时间里行星沿WK方向运动了2个单位的长度，那么，它的运动轨迹就是以K1和K2为两边的平行四边形的对角线KP。由图中可以看出，这条对角线的长度是3个单位。
图在太阳S的作用下，行星运动的路线WKPR发生了弯曲。
行星到达点P后，会继续沿KP方向以3个单位的速度运动，这时，它到太阳的距离是PS=5.8单位；在太阳引力的作用下，这颗行星将会沿PS方向运动P4=3个单位。
从图可以看出，由于比例尺太大，我们无法再继续画下去。要想画出更大的轨道范围，必须缩小比例尺，这样会给我们带来一个好处，就是画出的直线连接处不是尖角，而是比较平滑，看起来更像是行星的运行轨迹。如图所示，这是一张用小比例尺画出的图，从这个图上，我们可以直观地看出太阳与行星之间的相互影响，在太阳引力的作用下，行星偏离了原来的运行路线，改为沿曲线PⅠⅡⅢⅣⅤⅥ运动。而且，由于比例尺较小，图中连线的尖角很平滑，连接起来的是一条光滑的曲线。
图在太阳C的引力作用下，使行星P偏离原来的运行路径，改为曲线运动。
下面，我们通过几何学上的帕斯卡六边形定理来分析一下轨道曲线的类型。首先，找一张透明的纸，盖在图上，从图中的轨道上找出任意的6个点，描在纸上，并把它们进行任意编号，然后，按刚才的编号顺序把这6个点用直线连起来，这样，我们就得到了一个行星轨道上的六边形（其中有些边可能相交），如图所示。然后，延长直线1—2和直线4—5，使它们的延长线相交于点Ⅰ。同理，延长直线2—3和直线5—6，使它们的延长线相交于点Ⅱ，延长直线3—4和直线1—6，使它们的延长线相交于点Ⅲ。如果这条轨道曲线是椭圆、抛物线或者双曲线，也就是圆锥曲线中的某一种，那么，点Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ将位于同一条直线上。
图根据帕斯卡六边形定理，可以证明天体运行轨道是圆锥曲线。
根据帕斯卡六边形定理，只要我们把图画得非常精确，就可以使这三个交点在一条直线上，从而证明轨道曲线一定是圆锥曲线，也就是椭圆形、抛物线或者双曲线中的一种。
开普勒行星运动的第二定律，即面积定律，也可以通过这一方法来证明。如前面的图，图中的轨道被12个点分成了12段，每一段弧长表示行星在相同的时间里走过的距离，它们的长度并不相等。如果把太阳跟这12个点分别用直线连起来，我们可以得到12个近似三角形。然后，再把相邻的各点连起来，就可以得到一个封闭三角形，测量出每个三角形的底和高，可以得出它们的面积。我们会发现，这些三角形的面积都相等，从而证明了开普勒第二定律：在相同的时间内，行星运行轨道的向量半径所扫过的面积都相等。
