【题目】你在商店里看中了一件衣服，这件衣服的价格是19卢布。你身上的钱都是面值为2卢布的，而商店里的钱都是面值为5卢布的，那么你该怎么付钱呢？
其实这个题目可以转化为：你应该给商店几张2卢布的钞票，商店找给你几张5卢布的钞票，使得商店收到的钱数正好是19卢布。题目要求的未知数有两个：一个是2卢布面值钞票的张数x，另一个是5卢布面值钞票的张数y。根据题意，只能得到一个方程，即
2x-5y=19
对于上面的方程来说，有无数个解，但是，能否找到x和y都是正整数的解呢？这并不是件很容易的事，因此才会寻找求解这类“不定方程”的方法。首次将这种方法引入代数的是古希腊著名数学家丢藩图，所以，我们也称这类方程为“丢藩图方程”。
【解答】下面，我们就这个例子来说明这类方程的解法。
现在的问题是求方程
2x-5y=19
的解，其中x和y都是正整数。
首先，把方程进行变形，即
2x=19+5y
所以
在上式的右边，9和2y都是正整数，要想x也是正整数，
必须是正整数才行。
设
，则有
x=9+2y+t
那么
2t=1+y
y=2t-1
把前面式子中的y用上式中的（2t-1）代替，则有
x=9+2(2t-1)+t=5t+7
现在来看下面的方程组
可以看出，如果t是整数，x和y就一定是整数。这里的x和y必须是正整数，也就是说，它们都大于0，即
解上面的不等式，得到
所以，t的取值范围是
由于t是整数，所以t可以取下面的数值：
t=1,2,3,4,…
对应的x和y的值分别为：
x=5t+7=12,17,22,27,…
y=2t-1=1,3,5,7,…
现在，就知道该如何付款了。
你给商店12张2卢布面值的钞票，商店找回你1张5卢布面值的钞票：
12×2-5=19
或者你给商店17张2卢布面值的钞票，商店找回你3张5卢布面值的钞票：
17×2-3×5=19
等等。
从理论上讲，这个题目的解有无数个。但是，对于你和商店来说，不可能有无穷多的钞票，比如说，你们双方都只有15张钞票，这时就只有一个解：你给商店12张2卢布面值的钞票，商店找回你1张5卢布面值的钞票。
在这个题目中，如果条件变一下，比如，你只有5卢布面值的钞票，而商店只有2卢布面值的钞票，读者可以自己计算一下，很容易得到下面的解：
x=5,7,9,11,…
y=3,8,13,18,…
实际上：
5×53×2=19，
7×58×2=19，
9×513×2=19，
9×518×2=19，
…
其实不用重新计算，通过借助一点简单的代数方法，就能从母题的解法中求出上面题目的解。在上面的题目中，你付给商店5卢布面值的钞票，商店找回2卢布面值的钞票，就相当于你付了－2卢布面值的钞票，商店找回给你－5卢布面值的钞票。所以，仍然可以用前面的方程
2x-5y=19
来求解。但这里要求x和y都是负数。
所以，由方程组
得到
解得
取t2,-3,-4,-5,=…就可以得出x和y的值（见下页表格）。
对于第一组解：x=-3,y=-5，意思就是：你付给商店-3张2卢布面值的钞票，而商店找回你5张5卢布面值的钞票，换句话说，你付给商店5张5卢布面值的钞票，而商店找回你3张2卢布面值的钞票。对于其他的几组解，也可以用同样的方法进行解释。
