其实，我们可以用几何学知识证明：在周长相等的情况下，对于一个正多边形，边数越多，其面积越大。如果在一定的周长下，圆的面积最大。如果巴霍姆跑的路线是圆形（这个圆的周长是40俄里），那么他就可以得到
平方俄里的土地。
在周长相等的情况下，没有一种图形比圆的面积更大。
也许有的读者朋友想知道这是为什么。下面，我们就来对这一结论进行一下证明，看看圆到底是不是真的有这样的特性。
需要说明的是，下面的这种证明方法并不是十分严格，不过，可以帮助我们理解圆的这一特性。
需要证明的题目是：在周长为定值的情况下，圆的面积是最大的。
首先，我们需要确定一点，就是这个图形必须是凸边的。也就是说，它所有的弦都在这个图形的里面。如 图 所示，假设有这样一个图形AaBC在这个图形中，弦AB在图形的外面，那么如果我们用弧a来代替弧b，对于这个图形来说，周长并没有变化，但是它的面积却明显变大了。所以，在周长为定值的情况下，图形AaBC的面积绝对不是最大的。
如果我们找到了这个图形，它的面积最大，那么这个图形一定是凸边的。下面，我们再来说明它的另一个特性：如果在这个图形中存在一条弦，使它的周长二等分，那么也必然使它的面积二等分。如 图 所示，假设图形AMBN是这个面积最大的图形，并且，假设它的周长被弦MN二等分，下面，我们就来证明图形NAM的面积等于图形MBN。
图 当周长相等时，最大面积的图形一定。
图 如果一条弦把一个具有最大面积的凸边形的周长二等分，那这条弦也一定将面积二等分。
首先，我们假设其中的一个图形面积大一些，比如，AMN>MBN。如果沿着MN把NAM折过去，并根据图形MAN作一个全等的图形MA′N。这个新图形AMA′N图形AMBN的周长相等，但面积比图形AMBN大。那就说明图形AMBN并不是我们要找的图形，因为它不是相同周长中面积最大的圆。
在继续讨论之前，我们需要证明下面这个补充定理：如果已经知道了三角形的两个边长，那么在所有以它们为其中两条边的三角形中，面积最大的三角形是以它们为两个直角边的三角形。
怎么来证明这一定理呢？我们不妨假设这两条边分别为a和b，它们的夹角为C。那么，这个三角形的面积就可以表示为：
由上式可以看出，如果两条边a和b是已知的，那么三角形的面积就取决于角C的值，很明显，sinC取最大值1的时候，面积S是最大的。这个时候，角C的值必定是90°，也就是在两个边成直角时。现在证明：在所有周长相等的图形中，圆的面积最大。如 图 所示，假设存在这样一个非圆图形MANBM，在周长相等的情况下，它的面积最大。
第1步：我们作出可以把周长二等分的弦MN。在前面，我们证明过，这时图形的面积也会被二等分。
第2步：我们把图形的MKN部分沿着MN折起来，得到了对称的图形MK′N，所以图形MNK′M跟原来的图形MKNM周长和面积都是相等的。而弧MKN并不是一个圆的半周，所以，它上面的任何一个点跟点M和N的连线都不可能构成直角。
第3步：假设点K就是这上面的一个点，它的对称点为K′，所以，角K和角K′都不是直角。在线段MK、KN、MK′和NK′长度不变的情况下，移动它们的位置，使它们的夹角K和K′为直角，则这两个直角三角形全等。
第4步：如 图 所示，把两个三角形对应的弦合并起来，并把图形中的阴影部分合并到M′K、′KN′、N′K′、K′M′的外面。这样，我们就得到了图形M′KN′K′M′，很明显，这个图形的周长跟原来的图形也是相等的。但是，由于三角形M′KN′和M′K′N′是直角三角形，根据前面的结论，我们知道它们的面积比三角形MKN和MK′N大。所以，图形M′KN′K′M′的面积也比原来图形的面积大。
图 假设一个非圆形的凸形面积最大，能否实现？
图 这里需证明，在周长相等的情况下，最大面积的图形仍然为圆形。
因此，我们前面的假设是错误的。由此我们可以得出结论，如果这个图形不是圆形，它的面积就不是最大的。
综上所述，在周长相等的各种图形中，圆的面积是最大的。
另外，我们还可以证明：在面积相等的各种图形中，圆的周长最短。至于证明的方法，可以采用前面证明正方形的方法。
