类似于上面的特征，还有一些由多位数字组成的长串数尾，在经过连乘后仍保持不变，而且，这些数尾的长度甚至可能是无限的。
我们已经知道，具有这种特性的两位数有25和76，那么，有没有具有这种特性的3位数呢？我们可以通过下面的方法来寻找。
假设在76的前面的数字为k，那么这个3位数可以表示为下面的形式：
100k+76
于是，以这个3位数为末尾的数就可以表示为（1000a+100k+76），（1000b+100k+76），等等。
那么，它们的乘积就是
(1000a+100k+76)(1000b+100k+76)=1000000ab+100000ak+100000bk+76000a+76000b+10000k2+15200k+5776
从上面的式子可以看出，除了最后两项，前面的各项都是1000的倍数，也就是说，每项后面都有3个0。那么，如果以下两项之差，即
15200k+5776(100k+76)
能被1000整除，那么，所得乘积的末尾就还是（100k+76）。而上面的式子为
15100k+5700=15000k+5000+100(k+7)
很明显，当k=3时，上式可以被1000整除。
所以，所求的3位数是376。也就是说，376的任何次方得出的数一定以376为末尾，比如
3762=141376
同样的方法，可以找到符合条件的4位数。假设376的前面的数字为l，那么，问题就变为：当l等于几的时候，下面的乘积
(10000a+1000l+376)(10000b+1000l+376)
以（1000l+376）为末尾？把上式的括号去掉，并把10000的倍数的项舍去，最后剩下下面两项：
752000l+141376
上式与（1000l+376）的差为
只有当上面这个数可以被10000整除的时候，所得乘积的末尾才是（1000l+376）。很明显，这时候l=9。
也就是说，所求的4位数是9376。
同样的方法，我们可以求出满足这一条件的其他多位数，比如说，5位数09376，6位数109376，7位数7109376，等等。
只要在这些数的前面加上一位，就可以一直计算下去，从而得到一个无限多位的这样的“数”：
……7109376
对于这样的数来说，同样可以进行一般的加法或者乘法运算，因为这些数是从右向左写的，而加法或乘法的竖式运算也是从右向左进行的。并且，当两个这样的数进行加法或乘法运算时，它们的和或者乘积可以去掉任意多的数字。
更加有意思的是，对这个无限长位数的“数”而言，下面的方程是成立的：
x2=x
这看起来有点不可思议，但确实如此。由于这个数的末尾为76，所以它二次方的末尾也应该是76。同样，我们可以得出，这个数二次方的末尾也可以是376，或者是9376，等等。也就是说，这个“数”的二次方中逐个减去一些数字，就可以得到一个与x＝……7109376相同的数。所以，我们可以得出结论：
x2=x
以上分析了以76为末尾的“无限长”的数。同样的方法，我们可以找出以5为末尾的这类数，它们是
5，25，625，0625，90625，890625，2890625
最后也可以得到一个满足x2=x的无限多位的“数”：
……2890625
而且，这个无限多位的“数”还“等于”：
可以这样说明这个数：在十进制中，除x＝0和x＝1外，方程x2=x还有两个无限的解：
x1=……7109376LL，x2=……2890625
