【题目】据说，有一次爱因斯坦生病了，躺在床上很无聊，他的朋友莫希柯夫斯基给他出了一道题目，让他打发时间。题目是这样的：
“有一只钟表，假设表针的初始位置是12点。这时候，如果把钟表的长针和短针对调，它们指示的时间还是在合理范围的。但是，在有的时间，比如6点，如果把表针对调，出现的时间就不对了，因为当时针指着12的时候，分针并不会指着6。问题来了，当分针和时针分别在什么位置时，两针对调后所指的时间还是合理的？”
爱因斯坦听完后答道：“对于病床上的人来说，这的确是一个很好的问题，它很有意思，又不是很简单。只是，我可能消磨不了多少时间，因为我马上就要计算出来了。”
说着，他从床上坐了起来，在纸上画出了一个草图。爱因斯坦解答这个题目所花的时间，可能比我描述这个问题所花的时间还要短……
那么，他是如何解答的呢？
【解答】我们不妨把钟表的一周划分成相等的60份，并以每份为单位，用它来度量表针从12点开始走过的距离。
如图所示，假设到达题目所求的位置时，时针从12点开始走过x个刻度，分针走过y个刻度。由于时针每过12个小时走过60个刻度，所以它每小时走过个刻度。那么，它走过x个刻度所花的时间就是
小时。也就是说，钟表从12点开始走到所求的位置，过去了
小时。分针走过的刻度是y个，也就是y分钟相当于
小时。也就是说，在
小时之前，分针从12点的位置经过。换句话说，两个指针在12点的位置重合之后，过去的整小时数是
。
一定是0到11之间的整数，因为该数表示在12点以后正好过去了几个小时。
如果把两个指针对调，用同样的方法，我们可以计算出从12点开始到表针所指的时间过去的整小时数为
。该数也是一个从0到11的整数。
联立上面的两个方程：
其中，m和n都是从0到11的整数。解这个方程组，可以得出
如果用0到11中的每个整数来代m和n，就可以得到题目所求的两个表针所指所有的位置。由于m和n都有12个数，它们的组合就是144个，所以看起来该方程好像有144个解，可实际上只有143个，因为当m=n=0和m=n=11的时候，它们所表示的是同一个时间，即12点。
在这里，我们不打算逐个讨论，只举两个例子来看一下。
例1：当m=n=1时，
即当表针所指的时间是1点
分时，两个指针是重合的，它们当然可以进行对调。事实上，所有指针重复的时刻，二者都可以进行对调。
例2：当m=n=1时，
此时对应的时间分别是8点28分53秒和5点42分38秒。
根据前面的分析，该题一共有143个解，我们可以把钟表的圆周分成均等的143份，这样就得到了这143个点。在这些点上，时针和分针可以对调，而在其他的点上，则不能进行对调。
