当一个圆沿着跟它处于同一平面的某条直线滚动时，这个圆上的每一个点都会跟这个平面接触。一般来说，这个圆有自己的轨迹。
假如我们研究一下一个圆沿着一条直线或圆周运行的轨迹，我们就会发现，有很多种不同的曲线。如图和图所示在，它们是其中的两种曲线。
图 圆周上的点A沿直线作无滑动的转动时的转动轨迹。
在图中，我们会遇到这样的问题：当一个小圆在另一个大圆的圆周内侧滚动时，它上面的某一个点能否画出一条直线轨迹，而不是曲线轨迹呢？初看这个问题，好像是不可能的。
图 小圆在一个大圆内测滚动时，某点所形成的轨迹。这里R=3r。
不过，我曾经亲眼看到过这样的运行图。
在图中是一个玩具，有人称它为“吊索人偶”。读者朋友们也可以很容易做出一个这样的玩具来。找一块儿厚的硬纸板或木板，在上面画出一个直径为30厘米的圆，注意要把圆画在纸板的中央，也就是在纸板的四周要留一些空白，然后画出圆的直径，并把它向两边延长。
图 钢索人偶。
图 在滚动着的圆形上沿着直线移动的人偶。
如图所示，画出直径延长线，在圆的两边分别插上一根缝衣针。再找一根细绳，把它穿进两根针的孔里。拉紧细绳，将绳子的两头固定在纸板的两边。然后，把刚开始画出来的圆用剪刀剪下来，这样纸板上就出现了一个直径30厘米的大圆孔。再找一块硬纸板或者木板，在上面画一个直径15厘米的圆，并把它剪下来。把这个小圆放到大圆孔中。在这个小圆的边上，插上一根缝衣针。再用刚才剩下的纸板剪出一个人物形象，把它的脚固定在这根缝衣针的尖上。
如果我们把这个小圆紧贴着大圆的内侧滚动，就会发现小圆上的缝衣针和人物会沿着那条绷紧的细绳前后移动。关于这个现象，我们可以这样解释：当小圆滚动时，小圆上插了缝衣针的那个点在完全沿着大圆的直径滚动。
但是，在图所示的情况下，滚动的圆上的点为什么没有沿着直线移动，而是走出了一条曲线呢？一般来说，我们把这条曲线称为圆内旋轮线。其实，这是由大圆和小圆直径的比值决定的。
【题目】请证明：当一个小圆在另一个大圆周内滚动时，如果它们直径的比值是1∶2，那么在小圆滚动时，它上面的点将沿着大圆周的直径做直线运动。
【解答】如图所示，我们假设大圆O的直径是小圆O1的直径的2倍，那么当小圆O1滚动时，不管它滚动到什么地方，在它的圆周上，总有一个点在大圆O的圆心。
图 “吊索人偶”的几何学图示。
现在，我们就来看看小圆上的点A移动的情形。不妨假设在某一时刻，小圆沿着弧线AC滚动。那么，当小圆O1在这个位置上的时候，点A会在什么地方？很明显，它应该处于圆周上的点B上。这时，弧线AC和BC的长度相等。
假设OA=R，∠AOC=α，那么，我们有AC＝R×α。所以，BC也等于及R×α，而
，所以：
而
，也就是说，点B仍然在直线OA上。
实际上，刚才介绍的这个玩具，就是把旋转运动变成了直线运动。
