利用代数，我们可以不用进行除法运算，就能判断一个数是否能被另一个数整除。我们都知道如何判断一个数是否能被2，3，4，5，6，7，8，9，10整除，如果要判断一个数是否能被11整除呢？这里介绍一个既简单又实用的方法。
假设要判断的这个多位数为N，它的个位数字是a，十位数字是b，百位数字是c，千位数字是d，等等。即
N= a+10b+100c+1000d=a+10(b++10c+100d+…)
从这个数中减去一个11的倍数 11(b+10c+100d…+)，得到的差值为
a-b-10(- c + 10d+ …)
显然，这个差值除以11得到的余数等于N除以11得到的余数。将这个差值加上一个11的倍数 11(c+10d+ …)，得到下面的数
a-b+c+10(d+ …)
那么，这个数除以11得到的余数也等于N除以11得到的余数。同样的道理，再从这个数中减去一个11的倍数 11(d+… ) ，如果一直这样进行下去，就会得到下面的结果
a-b+(c-d)+…=(a + c+…)-(b+d+…)
这个数除以11得到的余数也等于N除以11得到的余数。
这样，我们就得到了判断一个数能否被11整除的方法：求出这个数所有奇数位的数字之和，减去这个数所有偶数位的数字之和，如果这个差为0或者为11的倍数，那么这个数就能被11整除，否则就不能被11整除。
举例来说，用上面的方法判断一下87635064是否能被11整除。
这个数奇数位的数字之和是
4+0+3+7=14
偶数位的数字之和是
6+5+6+8=25
它们的差是
14－25＝－11
所以，这个数能被11整除。
除了上面的方法外，要判断一个不是很大的数能否被11整除，还可以用下面的方法：把这个数自右到左每两位数作为一个整体进行划分，然后把分出来的数相加，如果加起来的和能被11整除，那么这个数就能被11整除。反之，则不能被11整除。比如说，要判断528是否能被11整除，可以把这个数分成两部分：5和28，它们的和是
5+28=33
很明显，33能被11整除，所以528也能被11整除。实际上
528÷11=48
下面来证明一下这个方法。假设这个多位数是N，将其自右至左每两位数作为一个整体进行划分后，得到的数依次为a，b，c，…则N的形式可以表示如下
N = a+100b+10000c+…= a + 100(b+100c+…)
如果把这个数减去一个11的倍数99(b+100c+)…，差值就是
a+(b+100c+…)
那么，这个差值除以11得到的余数应该等于N除以11得到的余数。同样，再从这个差值中减去一个11的倍数99(c+L)，如果一直这样进行下去，就会得出下面的结论：N除以11得到的余数等于下面这个数
a+b+c+…
除以11得到的余数。
问题得证。
