两列火车的最近距离

在本章中，我们将讨论一些有趣的题目，即求最大值或者最小值的问题。对于这类题目的求解，有很多种方法，这里只介绍其中的一种。数学家切比舍夫著有《地图绘制》一书，其中有这样的叙述：有一种方法具有特殊的意义，它帮助人们解答了最普遍和最实际的问题，即如何实现利益的最大化。

【题目】有两条垂直相交的铁路线，两列火车同时朝着交点开来。其中一列火车的出发点距离交点40千米，另一列火车的出发点距离交点50千米。已知前面一列火车的速度是800米/分钟，后面一列火车的速度是600米/分钟。

那么，从它们出发开始算起，多长时间后这两列火车的车头距离最近，这个最近距离是多少？

【解答】我们先把示意图画出来。如图所示，直线AB和CD是这两条铁路，两列火车分别从点B和点D出发，朝着点O的方向开动。假设两列火车在开出x分钟后车头距离最近，并设这个距离为MN=m。

那么，从点B出发的火车所走的路程是BM=0.8x千米，所以

OM=40-0.8x

同理，可以求得ON=500.6x。

根据勾股定理，可以得到

对方程

^{进行化简，可得}

x²-124x+4100m-m²=0

解方程得

由于x为经过的时间，所以x不可能为虚数，因此（m²-256）肯定不小于0，即m²≥256。要求m的最小值，只有当m²＝256时，m的最小值为16。这时的x值为

x=62

即当两列火车开出62分钟时，它们的车头距离最近，这个距离是16千米。

下面，来求一下此时车头的位置。容易得出

^{OM=40-0.8x=40-0.8×62=-9.6}

^{ON=50-0.6x=50-0.6×62=12.8}

^{也就是说，此时第一列火车已经越过了交叉点，它离交叉点的距离是9.6千米；而第二列火车还没有到交叉点，它离交叉点的距离是12.8千米。如图所示，点M和N就是此时两列火车的正确位置，这与一开始画的示意图完全不同。可见，由于正负号的存在，方程帮我们纠正了错误。}

^图