【题目】如图所示，车工接到一个订单，让他用一个圆锥形材料车出一个圆柱来，要求尽可能地少去掉材料。他思考了很久，都没有确定下来，到底是车成图所示的细长圆柱，还是车成图所示的粗短圆柱？他不知道这两个方案，哪一个合乎要求。读者朋友，你觉得他应该怎样做才能满足条件？
图 车工遇到的难题。
图-186 圆锥中可以车出的两种圆柱，哪个去掉的费料最少？
【解答】说实话，这个题目还是有一定难度的。如 图 所示，我们假设过这个圆锥轴线的截面图为三角形ABC，它的高BD=h，底边半径AD=DC=R。假设图中阴影部分就是我们要车出的那个圆柱的截面，即MNOP，它的顶面跟圆锥顶点的距离BE=x，圆柱的底面（或者顶面）半径PD=ME=r。
图 圆锥和圆柱通过轴线的截面图。
那么，我们有下面的比例关系：
ME∶AD=BE∶BD
即：
所以，这个圆柱的高就是)h-x)，它的体积为：
所以可知：
在上式中，左边式子中的h、π、R都是定值，所以要想V最大，就得使右边式子中的x2(h-x )最大。但是，这个式子什么时候最大呢？很显然，右边的式子有三个乘数x、x和(h-x)，它们之和并不是一个定值，所以我们需要对它进行一下变换，使这个三个乘数之和为定值。其实，读者朋友应该已经有了答案，就是在前面那个等式的两边都乘以2，即：
这时候，右边式子中的三个乘数x、x和(2h-2x)之和为：
x+x+(2h-2x)=2h
也就是说，它们的和为定值2h。所以，当这三个乘数相等的时候，它们的乘积最大，也就是：
这时，
也取得最大值，也就是圆柱的体积V取得最大值。
也就是说，只要圆柱的上底面距离圆锥的顶点为圆柱高度的2/3，就可以得到最大体积的圆柱，这样去掉的材料就是最少的。
