自由的数学思考

【题目】有三姐妹带着母鸡到集市上去卖。第一个人带了10只，第二个人带了16只，第三个人带了26只。上午，她们卖出的价格是一样的，都卖出了一部分母鸡。到了下午，她们卖出的价格仍然一样，只不过比上午低一些，最后把所有的母鸡都卖完了。她们卖得的钱数一样，都卖了35卢布。

请问，她们在上午和下午卖出的价格分别是多少？

在上一节的题目中，一共用到了3个方程，含有5个未知数，对于这个方程组，我们没有采用常规的方法，而是采用了自由的数学思考。其实，还可以用这种方法来求解二次不定方程。下面，就来看一个例子。

有两个正整数，对它们进行如下4种运算：

（1）相加；

（2）大数减去小数；

（3）相乘；

（4）小数除大数。

把上面得到的所有结果相加，得出243。这两个数分别是几？

【题目】假设这两个数为x和y，其中x＞y。那么

方程的两边都乘以y，并进行化简，得到

x(2y+y²+1)=243y

而

2y+y²+1=(y+1)²

所以

由于x和y都是整数，所以(y+1)²必须整除243。而243=3⁵，能整除243的平方数只有1，3²，9²。也就是说，(y+1)²等于1，3²或9²，进而可以求出，y等于2或8。

所以

也就是说，这两个数是24和8或者54和2。