【题】在不同的，开普勒第三定律会有不同的表述。在一些这样说道：行星和彗星公转周期的平方等于它们公转轨道长半轴的立方。另一些则这样表述：行星和彗星公转周期的平方等于它们离太阳距离的立方。那么你认为上面哪一种表述是正确的呢？
【解】事实上，轨道长半轴和行星距离太阳的平均距离这两种表述都是正确的。只不过它是行星绕太阳运行轨道各点距太阳距离的算术平均值，而不是行星距太阳最远距离和最近距离的算术平均值。图130为行星与太阳平均距离的计算方法，当太阳在焦点F1的位置，行星依次位于a，b，c，d等位置时，行星距太阳的平均距离可以通过把各轨道点距焦点F1的距离F1a，F1b，F1c，F1d等相加然后再除以所选取的轨道点数计算出来。通过计算可得出这个值等于长轴的一半。
通过下面可以证明。假设取轨道上n点，由此就有n个距离。根据椭圆曲线的性质，把焦点F2与所有的点相连，各点距两个焦点的距离之和就等于2a，所以：
aF1+aF2=2a
bF1+bF2=2a
cF1+cF2=2a
……
分别将等式左边所有项和右边所有项相加可得出：
（aF1+bF1+cF1+…）+（aF2+bF2+cF2+…）=2an
假如n无穷大，在椭圆曲线里由于两个括号里的表达式是对称的，而每个括号里的表达式都是所有行星位置距焦点（即距太阳距离）的距离之和，这个总和我们用S表示。可以得出：
2S=2an
从而得到：
S/n=a
其中，S/n是表示行星距太阳的平均值，a是表示行星轨道长轴。也就是说，所有的行星距离太阳的平均值与行星轨道长半轴是相等的。
