【题】公元1世纪，古罗马建筑学家威特鲁维对流传着许多版本的阿基米德金皇冠命题的传奇故事是这样讲述的：
吉耶伦夺取皇权后，为了感谢神保佑事业取得成功，有意向一座神殿捐赠一顶金皇冠，新国王吩咐工匠去制作并给了他所需的材料。在预定期限内，工匠将制作完工的皇冠呈献给国王。吉耶伦十分满意：皇冠的重量与原材料是相等的。但是后来有人传言，工匠用银偷换了部分黄金。得知受骗后，吉耶伦非常恼怒，命令阿基米德想出办法揭穿偷换的骗局。
有一次，正思考着这个问题的阿基米德去洗澡。他发现，当他跨进浴盆时，浴盆中溢出来的水的体积与身体进入水中的体积是相等的。发现这一现象之后，阿基米德高兴地从澡盆中跳了出来，赤裸着身子跑出澡堂，且一边往家跑一边用希腊语喊道：“埃弗利克，埃弗利克”。（意思是“我找到了”）
随后阿基米德利用自己的发现，各取一块相同重量的金银。首先，他先将银块浸入一个盛满水的深容器罐内，将溢出的水的重量测出来——此时溢出的水的体积就是银块的体积。然后取出银块，重新把容器罐加满水。利用与上面相同的方法，他在盛满水的容器中放入金块，将溢出的水再次测量时他发现，这次溢出的水的体积要比上次的小，而这部分体积之差正是同等重量的银块和金块的体积之差。随后他再次把容器罐盛满水，这次把皇冠浸入水中，当他测量溢出的水时发现，此次的水要比浸下纯金块溢出的水多。借助于这部分多出来的水，阿基米德计算出了金皇冠中的银杂质，从而通过这种方法揭穿了工匠的骗局。
那么皇冠中被银偷换掉的金的重量能够通过上述阿基米德的方法计算出来吗？
【解】根据阿基米德的方法无法准确计算出工匠用银子偷换了多少黄金，要想用上述方法解答这个问题，就需要金银熔合物的体积完全等于该熔合物中的金银体积之和。
确实只有少数熔合物具有这种特性─金银熔合物的体积是要小于其中的金银体积之和。也就是说，这个金银密度之和就要小于熔合物的密度。显而易见，阿基米德在用这种方法计算被偷换掉的金的重量时，得到的结果本应该会小些：在他看来，熔合物的密度更大说明其中金的含量更多。所以，被偷换掉的金的全部重量阿基米德是不可能计算出来的。
那么阿基米德的难题到底该如何解决呢？《普通化学教程》的作者梅恩舒特金教授在这样写道：“现在我们可以假设通过如下方法来解决这个问题。首先确定出纯金和纯银的密度，以及一系列过渡性合金的密度；用图解的方法表示出已得的数据，并通过这种形式得出一个曲线图。这个曲线图给我们展示的是金银熔合物密度变化同其中金银密度关系的曲线；同时还能够得到一条直线，即熔合物中的金银密度呈直线变化。现在来确定皇冠的密度，将所得到的密度大小置于金银密度坐标系的曲线图中来看，就可以发现所得到的是熔合物中哪种金属的密度了；那么皇冠中金属的成分也就能判断出来了。”
此外，如果调换的是铜而不是银，那么金和铜的体积之和就完全与金银熔合物的体积相等了。而这时，要想得到正确的答案，只要运用阿基米德的方法就可以了。
