为什么说音乐中也要用到数学-数学为你点迷津
我们知道声音是靠振动产生的，音调的高低是由振动的频率决定的。一首优美的乐曲是由许许多多互相“协调”的音按一定的时值、力度同时或先后发出的。音的“协调”是人类心理上的感觉，但人们很早就发现，它有切实的物质基础，或者说有数学解释：当两个或多个音（振动）的频率成简单的整数比时，它们是“协调”的。最简单的整数比当然是1∶2。在音乐上如果两个音的频率比成1∶2，频率较高的那个音就是频率较低那个音的高八度同名音。例如，“1”（do）音的振动频率加倍，就得到“1.”音。2∶3的简单性仅次于1∶2，“1”音振动频率的32倍得到“1”上方纯五度的“5”音……从这样的角度考虑问题，人类发明了音乐上的“纯律”七声音阶。下表列出“纯律”七声音阶中各音的频率（假定“1”的频率为520赫兹，频率全部只取整数）以及各音与“1”的频率比：
音阶1234567〖〗1.频率5205856506937808679751040与“1”的频率比189544332531582由上表还可以得出音乐中最常用的两种三和弦（三个音组成的和弦）的频率比：雄浑、明朗的大三和弦（如1－3－5和4－6－）三个音的频率比为4∶5∶6；优美、深沉的小三和弦（如6－1.－3.和3－5－7）三个音的频率比为10∶12∶15。这两类三和弦中三个音组成简单的整数比，所以非常和谐。
“纯律”七声音阶的发明可以追溯到公元前1200年我国的周武王时代。我国后来又发明了非常简便易行的计算音阶频率的方法——“三分损益法”，被后人誉为音乐史上的惊人发现。“三分损益法”是这样计算频率的：设弦的全长的发音是“1”，弃去弦长的13（即“三分损一”），剩下23，频率变成“1”的32，这是“5”音的频率；以“5”为基础，弦长增加13（即“三分益一”）而成为“5”音弦长的43，频率变成“5”音的34，得到“2”音，它的频率是“1”音的32×34＝98；再“三分损一”得“6”，“三分益一”得“3”……如此交替“损”“益”下去，得到全部七音。这样得到的七音频率的误差与“纯律”七声音阶的频率误差在2.5％之内。
“纯律”七声音阶虽然非常好地解决了音的“协调”问题，但却不能解决转调问题，因为转调后出现的另外一组音阶的某些音的频率与原调音阶中音高相近的音的频率之间存在微小的差别。为了解决转调问题，又能基本保持“纯律”七声音阶的各音的频率，人们又发明了“十二平均律”，即把一个八度音程平均地分成十二个相等的半音，得到半音音阶1、＃1、2、＃2、3、＃3、4、＃4、5、＃5、6、b7、7（记号“＃”称为“升号”，表示音调升高半音；记号“b”称为“降号”，表示音调降低半音。当然，＃1＝b2，以此类推）。这里讲的“平均”是几何平均，即每一个音的频率和它前面一个音的频率之比都相等。我们很容易算出这个频率比应为122≈1.059463。下表将按“纯律”和“十二平均律”算出的七声音阶的频率做一对比，可以看出其误差都在0.8％之内：
音阶12345671.“纯律”频率5205856506937808679751040十二平均律频率5205846556947798749821040钢琴、竖琴等乐器都是按照十二平均律设定音高的，而铜管乐器则是按照“纯律”设定音高的。由于两者之间的误差甚小，这些乐器在乐队中都能和平共处，演奏出美妙的乐曲。
