从“猴子分桃子”谈起-迷你数学游戏
海滩上有一堆桃子，这是五个猴子的财产，它们要平均分配。第一个猴子来到海滩，它左等右等，未等来别的猴子，便把桃子平均分成五堆，还剩一个，它就把剩下的一个扔到海里，自己拿起了5堆中的一堆。第二个猴子来了，它把剩下的桃子分成五堆，把剩下的一个又扔掉了，然后拿起一堆。以后每个猴子来了都是如此办理，问原来至少有多少个桃子？最后海滩上至少剩下多少桃子？这就是著名的猴子分桃子问题。著名的英国物理学家狄拉克曾提出了一种解法，相当巧妙地解决了这个问题。
设原来桃子N个，而五个猴子分得的桃子数分别为A1，A2，……，A5，则得到
N=5A1＋1
4A1=5A2＋1
4A2=5A3＋1
4A3=5A1＋1
4A4=5A5＋1
经过一系列的代换，就可以得到N=3121，4A5=1020
其实这个答案是受到问题中“至少”这一前提限制而得到的，如果不考虑“至少”这个条件，符合前面关系式的答案是很多的。例如N=6246，4A5=2044；N=15621，4A5=5116等等。
但是使人感兴趣的不在于所得答案的多少，而是在于这类问题是怎样解出的，原来“猴子分桃子”就是这样的一个数学问题，若A0=N，A1=15(N-1)，5An＋1=4An-1
求An
解：由5An＋1=4An-1，5An=4An-1-1
两式相减得：5(An＋1-An)=4(An-An-1)
令Bn=An＋1-An则有：Bn=45Bn-1
因此：
An= (An-An-1)+(An-1-An-2)+……+(A2-A1)+A1
=Bn-1+Bn-2+……+B1+A1
=1-(45)n-11-45B1+A1
=5B1［1-(45)n-1］+A1
又由于A1=15(N-1)
A2=15［45(N-1)-1］
则B1=A2-A1=-125(N+4)
于是：An=-15(N+4)［1-(45)n-1］+15(N-1)
=-1+4n-15n(N+4)
特别是当n=5时，有55(A5+1)=44(N+4)。由于5与4互质，则N+4必为55的整数倍，即N+4=55.P(P∈Z)，同时A5+1=44.P令P=1即可求出前面的结果。
从上面的解法，我们看到，如果给定了必须的数列｛an｝的前几项，再由给定的关于数列若干连续的关系式，就可以由关系式推出一个新数列。因此，我们把这种关系式叫数列的逆推公式，由逆推公式得到的这种数列叫作逆归数列。逆归数列由于逆推公式的不同，因此求它的通项的方法也比较复杂。“猴子分桃子问题”在研究逆归数列上确实起到了开路先锋的作用。
为什么乌鸦不一定喝到水
还在上小学的时候，大概我们就知道了聪明的乌鸦投石喝水的故事。那时候，无不为乌鸦的办法叫好，没有人去考虑乌鸦是否真正能喝到水的问题？现在，我们从几何学体积计算的角度，倒真要研究研究这个问题了，乌鸦一定能喝到水吗？
不难想象，当乌鸦把各种各样形状的小石子扔到瓶里时，石子之间是不可能没有空隙的。如果石子间的空隙较大，而且原来瓶子里的水又比较少，那么即使把瓶里扔进了很多石子(当然是有限的)，水面也不一定升到瓶口。只有当瓶里原有水的体积比所丢入的石子间全部空隙更大的时候，水才能充满石子间的空隙，升到石面上来，这样乌鸦才能喝到水。
那么瓶子到底应当有多少水，乌鸦才可能喝到水呢？
当然，这一个问题与石子的形状及其排列方法是有关的。为了简单起见，不妨我们假设乌鸦投进的石子都是大小一样的球体，那么很容易算出空隙部分的体积与瓶子体积的比大致是：
d3-πd36d3=48%
这就表示，按着上面的条件，当瓶子里放满球形石子时，瓶里所有空隙的总和，等于瓶的容积的一半稍小一些。假如乌鸦聪明得很，能使各个石子彼此间挨得更紧密，那么至少空隙也得大于瓶子体积的13(计算麻烦一些)。由此看来，我们可以得出这样的一个结果，瓶子里原来的水至少也要占瓶高的三分之一，乌鸦才能喝到水。
我们这样的计算当然也是实在为难乌鸦了，但是，从中不能不使我们在考虑这样一个问题，在日常实际中，应当充分利用空间，减少浪费，将使我们获得更高的效益。
