“换一根短的杠杆”-数学趣闻知多少
据传说，在阿基米德晚年，他的家乡叙拉古城被强大的罗马帝国围困，在保卫城墙的战斗中，阿基米德充分动用了他的智慧和才能，发明许多特种武器，给敌人以沉重的打击，使得久攻不下的罗马军队只得弃强攻为封锁，后来，叙拉古城由于矢尽粮绝，才被罗马军队占领。
在保卫古城堡的最后一天，阿基米德看到城堡的一角，几名将士正用一根既沉重又长的杠杆在运一块大石，准备消灭入侵之敌。他好像突然想起什么似的猛然站起来高声喊到：“不要那么长的杠杆，换一根短的。”将士们惊呆了，用短杠杆怎么行？你老人家发明的杠杆原理不是要加长动力臂才省力吗？
遗憾的是由于城堡被敌人攻破，阿基米德没来得及回答将士们的问题，就被罗马士兵杀害了。
这个传说是否真实，我们不必来考证，但是，我们关心的是为什么阿基米德突然想到要换一根短杠杆呢？只要我们细心一想，就会发现这位古代科学家所提问题的道理，诚然加长动力臂能省力，但是随着杠杆长度的增加，人们的无用消耗也将增加。那么，究竟采用多长的杠杆才最省力呢？
不妨假设杠杆的支点、力点分为A、B，在距支点0.5米处的点挂重物490公斤，已知杠杆本身每米长重40公斤，求最省力的杠杆长？
显然，我们可以得这样一个关系式：
FX=40X.X2+490×0.5
可转化以自变量X的二次方程：20X2-FX+245=0于是利用判别式法求出F的极值，即：
Δ=F2-40×20×245≥0
即F≥140
故当F=140公斤时，X=3.5米
由此可知，最省力的杠杆长为3.5米，此时人们只用140公斤力就可移动490公斤重的物体，事实上，当杠杆比3.5米长了或短了时，所用的力都要大。例如取4米时，F=141.25公斤，显然用力大于140公斤。现在我们已说明了“阿基米德为什么说：‘不要用那么长的杠杆，换一根短的’？”的道理。
