有形状的数-奇妙无穷的数
毕达哥拉斯不仅知道奇数、偶数、质数、合数，还把自然数分成了亲和数、亏数、完全数等等。他分类的方法很奇特，其中，最有趣的是“形数”。
什么是形数呢？毕达哥拉斯研究数的概念时，喜欢把数描绘成沙滩上的小石子，小石子能够摆成不同的几何图形，于是就产生一系列的形数。
毕达哥拉斯发现，当小石子的数目是1、3、6、10等数时，小石子都能摆成正三角形，他把这些数叫做三角形数；当小石子的数目是1、4、9、16等数时，小石子都能摆成正方形，他把这些数叫做正方形数；当小石子的数目是1、5、12、22等数时，小石子都能摆成正五边形，他把这些数叫做五边形数……
这样一来，抽象的自然数就有了生动的形象，寻找它们之间的规律也就容易多了。不难看出，头四个三角形数都是一些连续自然数的和。瞧，3是第二个三角形数，它等于1＋2；6是第三个三角形数，它等于1＋2＋3；10是第四个三角形数，它等于1＋2＋3＋4。
看到这里，人们很自然地就会生发出一个猜想：第五个三角形数应该等于1＋2＋3＋4＋5，第六个三角形数应该等于1＋2＋3＋4＋5＋6，第七个三角形数应该等于……
这个猜想对不对呢？
由于自然数有了“形状”，验证这个猜想费不了什么事。只要拿15个或者21个小石子出来摆一下，很快就会发现：它们都能摆成正三角形，都是三角形数，而且正好就是第五个和第六个三角形数。
就这样，毕达哥拉斯借助生动的几何直观，很快就发现了自然数的一个规律：连续自然数的和都是三角形数。如果用字母n表示最后一个加数，那么1＋2＋…＋n的和也是一个三角形数，而且正好就是第n个三角形数。
毕达哥拉斯还发现，第n个正方形数等于n2，第n个五边形数等于n（3n－1）／2，第n个六边形数等于2n（n－1）……根据这些规律，人们就可以写出很多很多的形数。
不过，毕达哥拉斯并不因此而满足。譬如三角形数，需要一个数一个数地相加，才能算出一个新的三角形数，毕达哥拉斯认为这太麻烦了，于是着手去寻找一种简捷的计算方法。经过深入探索自然数的内在规律，他又发现，
1＋2＋……＋n＝12×n×（n＋1）
这是一个重要的数学公式，有了它，计算连续自然数的和可就方便多了。例如，要计算一堆电线杆数目，用不着一一去数，只要知道它有多少层就行了。如果它有7层，只要用7代替公式中的n，就能算出这堆电线杆的数目。
1＋2＋3十4＋5＋6＋7
＝12×7×（7＋1）＝28（根）
就这样，毕达哥拉斯借助生动的几何直观，发现了许多有趣的数学定理。而且，这些定理都能以纯几何的方法来证明。
例如，在一些正方形数里，左上角第一个框内的数是1，它是1的平方；第二框内由1＋3组成，共有4个小石子，它是2的平方；第三个框内由1＋3＋5组成，共有9个小石子，它是3的平方。……由此不难看出，只要在正方形数上作些记号，就能令人信服地说明一个数学定理：“从1开始，任何个相继的奇数之和是完全平方。”即
1＋3＋5＋……＋（2n－1）＝n2
