沈括和他的隙积术-著名数学家的故事
沈括(公元1031~1095)是我国古代卓越的科学家,他出生于钱塘(杭州)。有一天,他和朋友在一家酒店喝酒时,看到院子里整整齐齐放着一堆酒坛。
“你猜,这堆酒坛有多少个?”朋友好奇地问,“一共有122个。”沈括沉思了一会儿回答。
后来,他的朋友把这堆酒坛搬开来,一个一个点了一下,果然一个不多,一个不少,恰好是122个,猜得真准呀!
原来他是计算出来的,因为酒坛叠得很有规律:每一层都排成长方形,而且下一层比上一层长、宽各增加一个,这堆酒坛有4层,他数得最上面一层长为5个,宽为3个,以下每层依次为6×4个,7×5个,8×6个,合计
5×3+6×4+7×5+8×6=122(个)。
一般地,假定共有n层,最上面一层为ab个,则以下每层依次为(a+1)(b+1)个,(a+2)(b+2)个,…,[a+(n-1)][b+(n-1)]个。所以这堆酒坛的总数为
S=ab+(a+1)(b+1)+(a+2)(b+2)+…+[a+(n-1)][b+(n-1)]。
下面我们来进行推导:
ab=ab,
(a+1)(b+1)=ab+1×(a+b)+12,
(a+2)(b+2)=ab+2×(a+b)+22,
……
[a+(n-1)][b+(n-1)]=ab+(n-1)(a+b)+(n-1)2,
∴S=nab+A(a+b)+B。
其中,A=1+2+…+(n-1)=n(n-1)2,
B=12+22+…+(n-1)2=n(n-1)(2n-1)6。
∴S=nab+n(n-1)2(a+b)+n(n-1)(2n-1)6
=n6[6ab+3(n-1)(a+b)+(n-1)(2n-1)]。
沈括认为通常求体积的各种公式,作为计算对象的形体都是实心的,但他的问题却是形体中间有空隙,因此就把这个方法称为隙积术了,不过,当时沈括把最上面一层的长和宽的个数分别记作a和b,最底下一层的长和宽的个数分别记作c和d,共n层,因此他得到的公式是
S=n6[(2b+d)a+(b+2d)c]+n6+(c-a)
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