在欧拉所处的世纪和领域中，只有一个人的成就超过了他，那就是他的门徒。拉格朗日是都灵一对法国夫妻所生的11个孩子之一，在这11个孩子中只有他没夭折。他读了一篇哈雷致伦敦皇家学院的回忆录，因而把兴趣从古典文学转到了科学。他很快献身于数学，18岁时成功地当上了都灵炮兵学院的几何学教授。从那些几乎全比他年长的学生那里，他组成了一个研究学社。这个研究学社后来成为都灵科学院。19岁那年，他寄了一套处理“微积分变分法”的新方法给欧拉。欧拉表示这个处理过程解决了过去他无法解决的困难。这位友善的瑞士人暂不把自己的结果公开，“以不致剥夺任何你应得的光荣”。1759年，拉格朗日在都灵科学院出版的第一册出版物上发表了他的方法。欧拉在自己的回忆录中提到“微积分变分法”的地方，给予这个比他年轻的人最高的评价。23岁那年（1759年），欧拉被选为柏林科学院的外籍会员。欧拉离开普鲁士时，他推荐拉格朗日为其科学院的继承人。达朗贝尔热烈地支持这项提议。1766年，拉格朗日到柏林。他恭贺腓特烈二世为“欧洲最伟大的国王”，腓特烈则以“最伟大的欧洲数学家”欢迎他。这句话在当时不免言之过早，但很快就成为事实。18世纪最杰出的数学家之间的友善关系——欧拉、拉格朗日、克莱罗、达朗贝尔、勒让德——形成了科学史上令人鼓舞的插曲。
在柏林的20年中，他逐渐地汇集了自己的杰作《分析力学》。除了这一基本工作外，他偶尔也钻研天文学，推出了有关木星卫星的一种定理，而且对月球的天平运动提出了解释——月亮可见部分中的改变。1786年，腓特烈大帝去世，腓特烈·威廉二世继位。威廉二世对科学不太关心，拉格朗日接受了路易十六的邀请而加入科学院。他在卢浮宫享有舒适的住所，成为玛丽·安托瓦妮特最宠爱的一位朋友，她曾尽力减少他的忧郁。他带着他《分析力学》的手稿，但在激沸着革命的城市中，无法找到出版商来出版。他的朋友勒让德和玛丽的神父最后说服了一个印书商来从事这份工作，但有一个条件，即在规定的时间后，这位神父必须遵守他自己的诺言把无法卖完的书全部买下来。拉格朗日收到印好的集子后，懒得一看。这时他又染上周期性的抑郁，对数学，甚至对生命，全然失去兴趣。此书放在书桌未曾打开竟达两年之久。
《分析力学》一书被大家评价为18世纪数学上登峰造极的著作，在同样的学术范围内仅次于《自然哲学的数学原理》一书。在解答和说明方面，他用“分析”——代数微积分——而不是用几何的方法，因此比牛顿进步。这书的序言中有一句话说：“此书将找不到任何图形。”拉格朗日利用这样的方法将力学问题简化成为一般性的公式——微积分的变分法——从这里我们对每个特殊问题都能导出特殊的方程式。这些一般性的方程式在力学中仍占很重要的地位，而且沿用其名。恩斯特·马赫将那些方程式描述为在“思考的节约”方面是有史以来人类所做的最伟大贡献。这些方程式把怀特黑德推到宗教狂热的地步：“这些方程式的优美及神妙的单纯性，使这些公式能和那些神秘的象征相比。这些象征在古代一直被认为用以指示万事万物根本的至高理性。”
法国大革命随着巴士底狱的沦陷（1789年7月14日）而爆发时，拉格朗日这位王室的亲信，受劝返回柏林，但他拒绝了，他一直同情受到压迫的人，他不相信革命能够防止人类生来的不平等。他对1792年9月的大屠杀及他朋友拉瓦锡上断头台恐怖不已，由于他那种忧郁的安静使他免于走上断头台。当师范学校在1795年成立时，拉格朗日主管数学；当这间学校关门而众技学校于1797年成立时，他是学校里的第一位教授。拉格朗日持续不断的影响奠定了法国数学教育的基础与趋势。
1791年，法国的一个委员会被指定来设计一个新的度量衡系统。拉格朗日、拉瓦锡、拉普拉斯为其最早的会员，三个月后，三人中有两人遭受“清算”，拉格朗日于是成为创立公制的领导人物。这个委员会选定以1/4的地球长度为基础——经过两极沿着水平面度量出来的大圆圈周长的1/4。这个数的千万分之一被订为新的长度单位，称为mètre——1米。小组委员会将1克重订为新的重量单位：摄氏零度、1立方厘米的蒸馏水的重量。用这种方法，所有的长度和重量都以一个物理常数和以10为进位的基础。在英国及我们常见的时间的度量中，仍有很多拥护12进位系统的人。拉格朗日强力地赞成以10作为基础。1792年11月25日，法国政府接受了公制，除了一些变更外，这也许是法国大革命影响最久的结果。
传奇性使年岁渐长的拉格朗日增加了光彩。在他56岁那年，他的朋友，天文学家拉莫尼亚的17岁的女儿坚持要嫁给他，而且尽力帮他减轻忧郁症。结果拉格朗日答应了她的请求，为了感激她的倾慕之意，他常陪伴她去舞会和音乐演奏会。他已学会喜欢音乐——这是数学对耳朵玩弄的一个诡计——“因为它隔离了我，我只能听最初的三个拍子；在第四个拍子时我便无法辨别任何东西；我集中了精神，没有任何东西来干扰我，因而我解决了不止一个问题。”
革命的热潮消退后，法国祝贺这位举世无双的数学家得以免上断头台。1796年，塔莱朗被派往都灵，以隆重的礼节拜访拉格朗日的父亲，而且告诉他：“你的孩子，皮得蒙以产生这样的人物自豪，而法国也以拥有他而自豪，由于他的才华，整个人类都感觉光荣。”拿破仑在战役之间，也喜欢和这位由数学家变为哲学家的人物交谈。
他修订、增补第二版的《分析力学》时（1810—1813年），这位老人又对数学发生了兴趣。但和从前一样，他工作的节奏太快，令人头昏眼花的拼字使他的身体变得虚弱。一次他的妻子发现他倒在地上，不省人事，他的头部因撞到桌边而受伤流血。他知道他的精力正将用完，他将这种逐渐而来的解体认为是正常而合理的。他对蒙日及其他探望他的人说：
朋友，我昨天病得厉害，我感到自己行将就木。我的身子越来越弱，我的智力和体能在不知不觉中失去。我观察到我的体力正以一定的速度减弱。我到最后没有丝毫悲伤、丝毫后悔，而且非常温和地衰退。死不足惧，当它没有痛苦地来到，那是愉快的最后作用……死亡是身体完全的休息。
他死于1813年4月10日，享年75岁，他唯一感到遗憾的是他不得不留下他忠诚的妻子，一任那个时代的风险摆布。那时，几乎整个世界都与法国为敌，兵戎相见。
他的朋友蒙日和勒让德将那些数学研究带进了19世纪，建立了工业进步的基础。勒让德的著作是法国大革命后期的产物。蒙日是一个小贩和磨刀匠的孩子，我们看到这个贫穷的父亲供三个孩子读完大学时，我们对法国贫穷的看法，将为之改观。蒙日在学校里拿了一切可能得到的奖。14岁那年，他建造了一台火力引擎；16岁时，他拒绝了属于耶稣会士的老师的邀请而未参加他们的教团；相反，他成了梅济耶尔军事学校的物理和数学教授。在那里，他创立了描述几何学的原理——在一描述平面上表示出三度空间的数字系统。其中的步骤在设计防御工事及其他建筑上，显得如此有用，因此法国军队禁止他泄密达15年之久。1794年，他获准在巴黎师范学校教授这一程序。拉格朗日在那里出席了他的演讲，像莫里哀的茹尔丹一样大感惊奇：“在听蒙日演说之前，我并不知道我懂得描述几何学。”蒙日为这个正在战备中的共和国做了很多事情，被提升为海军部部长。拿破仑曾将很多机密任务托付给他。波旁王室复辟后，蒙日又落入不安全和贫穷中。1818年他死后，众技学校的学生被禁止参加他的葬礼。待至翌晨，他们全体到了墓地，并在他的墓上放了一个花圈。
