在数学这一领域中,目前已无太大的改变,因为5000年以来,人类在这个领域中,已经有过许许多多的作为,牛顿的出现,使我们在数学这一方面似乎已无法另开辟新的领域。1727年,大家开始反对微积分的假设及其深奥性。一位名叫伯克利的主教,在一次激烈的评论中(《分析者》,1734年)攻击微积分,认为它与形而上学和神学一般神秘,他还嘲骂科学追随者“服从权威,对事采取信任的态度,而且相信一些令人难以想象的观点”,正好和过去宗教信仰的追随者遭受的控告相同。与唯物论者过去很难反驳他的理想主义一样,数学家也很难答复伯克利。
然而,数学建筑了桥梁,学者对数目的探求依旧继续。亚伯拉罕·德穆瓦夫尔、桑德森、泰勒、麦克劳伦等人发展了牛顿形式的微积分。德穆瓦夫尔更深入研究概率及保险方面的数学。他出生在法国,却住在英国。1712年,他被伦敦皇家学会选来仲裁牛顿和莱布尼茨,看谁创立以无限小为出发点的微积分。桑德森1岁时失明,他以心算的方式来学习研究长而复杂的数学问题,他年仅29岁(1711年)就被任命为剑桥的数学教授。他著有《代数学》(Algebra)一书,获得了举世的赞赏,以后我们将可看到他如何迷惑了狄德罗。泰勒在微积分的基本定理中留下了名字,麦克劳伦则证明出某轴在流质中旋转时会使流质形成椭圆形。
在巴塞尔,伯努利的家族一连三代产生了几个很杰出的科学家,由于家人信仰新教,为了避免阿尔瓦公爵的暴行,他由安特卫普(1583年)逃出。7位伯努利数学家中有两个属于路易十六时代。第三位约翰一世则经历了两个朝代。丹尼尔在25岁时就做了圣彼得堡地方的数学教授,但8年后回来教解剖学、植物学和物理学,最后在巴塞尔大学教哲学。他在微积分、声学和天文学方面留有著作,数学物理也可能是他创立的。他的弟弟约翰二世教修辞学和数学,他在热学和光学方面也有贡献。丹尼尔得过十次科学院的赠奖,而约翰三世则有三次。作为约翰二世的儿子,约翰三世成为柏林科学院的天文学家。雅各布二世在巴塞尔教授物理,在圣彼得堡教授数学。这个了不起的家庭成员的影响跨学科、跨世纪、跨地域。
欧拉是约翰一世的学生,也是丹尼尔的一位和善对手,为当时最具才艺、最多产的数学家。他1707年出生于巴塞尔,1783年卒于圣彼得堡。在数学、力学、光学、声学、水力学、天文学、化学和医学上,均有杰出表现,而且通晓《埃涅阿斯纪》。在微积分的3篇主要论文中,他将新的科学从旧有的几何学中解放出来,建立代数微积分学,即“数学解析”。除了这些名著外,他在代数、力学、天文和音乐方面也有著作,然而他1729年出版的《音乐新理论的尝试》,“对于音乐家而言包含了太多的几何学,对于几何学家来说则包含了太多的音乐”。尽管取得很多科学成就,他一生都保持宗教信仰。
丹尼尔·伯努利去圣彼得堡时,他答应在科学院里为莱昂哈德谋求一个职位,这位青年去世时年仅20岁。丹尼尔1733年离开俄国时,欧拉继他为数学部的领导者。用天文表须算数月的问题,他能在三天之中全部算出,令当时科学院的院士大吃一惊。由于工作太过积极,从早到晚不停地工作,又加上灯光暗淡,他的右眼在1735年失明了。他结婚很早,生了几个孩子,在他的13个孩子中,有8个在年轻时就去世了。在充满政治阴谋和刺杀行动的首都,他自己的生命得不到安全保障。1741年,他接受了腓特烈大帝的邀请,加入柏林科学院。1759年,他在那里继莫佩尔蒂之后主持数学部。腓特烈的母亲很宠爱他,但发现他沉默寡言。她问道:“你为什么不和我讲话?”他回答道:“夫人,我来自一个如果讲错了话就要遭绞刑的国家。”但俄国人也可成为君子。在他离开后的一段很长的时间,他们照样发给他薪水。俄国军队进犯勃兰登堡、肆意抢掠欧拉的家园时,司令官很豪爽地赔偿了他的损失,伊丽莎白·彼得罗夫娜女皇则添附了更多的赔偿金。
科学史上尊崇欧拉是研究微积分,特别是有系统地研究“变分微积分学”的第一人。他把几何和三角推展成为数学分析的一支。他是第一个清楚了解数学函数这一观念的人,而这正是数学的中心问题。在力学方面,他创立了一般方程式,直到如今仍用他的名字冠名。在光学方面,他首次将微积分应用在光波的振动上,而且把因弹性和密度引起的振动弧度公式化。他用分析的方法推出折射定律,而且把光散射方面的研究应用到无色透镜的制造。利用画出行星的位置关系图及月的亏盈,他参与了这份属于国际性的经度测量工作。他所做的大略值的解答,帮助了约翰·哈里逊,使英国海军部成功地制出有关月亮资料的表。
1766年,叶卡捷琳娜大帝要求欧拉回到圣彼得堡。他答应了,而且受到她盛大的接待。到俄国不久,他的眼睛完全失明了。由于他的记忆如此准确,他的计算速度如此快,因此,他的贡献仍不减当年。这时他将《代数引言全集》(Complete Introduction to Algebra)口授给一位年轻的裁缝,而这位裁缝在此之前,除了一些简单的数学计算外,对数学全然无知。这赋予代数学的形式一直维持到现在。1771年,一场大火烧毁了欧拉的家。这位双目失明的科学家被从巴塞尔来的一位瑞士同胞彼得·格里姆所救,他将欧拉放在肩上扛到安全地点。1783年,欧拉和孙子一起玩耍时中风逝世,享年76岁。